विश्लेषणात्मक एवं तार्किक तर्कशक्ति

1. अध्ययन क्रम: विश्लेषणात्मक तर्क एवं न्यायवाक्य#

विश्लेषणात्मक तर्क का अर्थ दी गई सूचना को स्पष्ट शर्तों में बाँटकर उससे निकलने वाले परिणाम जाँचना है। तार्किक तर्कणा उचित निष्कर्ष निकालने की व्यापक प्रक्रिया है। इस प्रथम अध्याय का मुख्य विषय श्रेणीगत न्यायवाक्य है: विद्यार्थियों, पाठकों और खिलाड़ियों जैसे समूहों के बारे में कथन। यही अनुशासन आगे बैठने की व्यवस्था, दिशा, संबंध और पहेली के अध्यायों में काम आता है।

इस क्रम में पढ़ें: चार प्रकार के कथन → वेन आरेख → माँगे गए छह संयोजन → विश्लेषणात्मक विधि → अतिरिक्त स्वरूप → संभावना और या-तो → हल किए प्रश्न → स्वतंत्र अभ्यास।

कथन प्रश्न द्वारा दिया गया आधार है। निष्कर्ष वह दावा है जिसे जाँचना है। निष्कर्ष तभी अनुसरण करता है जब कथनों को संतुष्ट करने वाली प्रत्येक व्यवस्था में सही हो। समर्थन करने वाला एक चित्र पर्याप्त नहीं; एक वैध प्रतिउदाहरण मिल जाने पर निश्चितता का दावा गलत हो जाता है।

कथन वास्तविक ज्ञान के विरुद्ध हो तब भी प्रश्न के लिए उसे सत्य मानें। यदि लिखा है ‘सभी पुस्तकें पक्षी हैं’, तो इसी वाक्य से तर्क करें; वास्तविक पुस्तकें उड़ नहीं सकतीं इसलिए कथन न नकारें। नई जानकारी न जोड़ें, तीर न उलटें और अलग-अलग ‘कुछ’ को स्वतः वही वस्तुएँ न मानें।

2. चार मूल कथन: A, E, I और O#

A/E/I/O कथन-प्रकार के पारंपरिक संकेत हैं; समूहों के A/B/C नाम अलग प्रतीक हैं। ‘कुछ’ का अर्थ कम-से-कम एक, संभवतः सभी भी है। ‘सभी’ का अर्थ ‘केवल’ नहीं। ‘कोई नहीं’ हर साझा सदस्य को निषिद्ध करता है। ‘कुछ A, B नहीं हैं’ से अन्य A के B में होने या न होने का निश्चित निर्णय नहीं होता।

इस अध्याय में अस्तित्व का नियम: सभी और कोई नहीं वाले कथन संबंध बताते हैं, स्वयं समूह में सदस्य होने की घोषणा नहीं करते। कुछ और कुछ-नहीं सदस्य का अस्तित्व बताते हैं। कुछ प्रतियोगी परीक्षाओं में नामित समूहों को गैर-रिक्त मानने का अतिरिक्त निर्देश होता है; उस धारणा पर सभी A, B हैं से कुछ B, A हैं निकलता है। प्रश्नपत्र का स्पष्ट निर्देश देखें। यहाँ अस्तित्व पर निर्भर निष्कर्ष अलग बताए गए हैं; नियम चुपचाप नहीं बदला गया है।

उदाहरण: सभी ड्रैगन प्राणी हैं से ड्रैगन का अस्तित्व सिद्ध नहीं होता। यदि अतिरिक्त दिया जाए कि कुछ ड्रैगन मौजूद हैं, तब कुछ प्राणी ड्रैगन हैं अनुसरण करेगा।

3. वेन आरेख कैसे पढ़ें#

वृत्त एक वर्ग दर्शाता है; उसका आकार सदस्यों की संख्या नहीं बताता। भीतर का वृत्त समावेशन, अलग वृत्त निषेध और × किसी मौजूद सदस्य का संकेत है। बिना × का साझा क्षेत्र केवल अनुमति दर्शाता है, वहाँ किसी वस्तु के अस्तित्व का प्रमाण नहीं।

basics

पहले दो चित्र अस्तित्व घोषित किए बिना संबंध बताते हैं। तीसरे में ×, A ∩ B में है। चौथे में ×, A में लेकिन B के बाहर है; अन्य A–B संबंध खुले रहते हैं।

केवल अनिवार्य संबंध बनाएँ। सभी A, B हैं में A और B बराबर भी हो सकते हैं; बाहरी वृत्त बड़ा दिखने से कुछ B, A के बाहर हैं निष्कर्ष न निकालें। अज्ञात संबंध के लिए एक से अधिक चित्र जाँचें। सुंदर चित्र कार्यकारी मॉडल है, शब्दों का विकल्प नहीं।

तीन वृत्त की तकनीक: आठ क्षेत्र सोचें: केवल A, केवल B, केवल C, केवल AB, केवल AC, केवल BC, ABC और तीनों के बाहर। पूर्ण वेन विधि में निषिद्ध क्षेत्र खाली चिह्नित करें और × वहीं रखें जहाँ अस्तित्व आवश्यक हो। यदि सदस्य दो क्षेत्रों में से किसी में हो सकता है, उसका स्थान अनिर्णीत रखें; सुविधा के लिए दो सदस्य न बनाएँ या एक क्षेत्र में न ठहराएँ।

4. सभी + सभी: तीर की दिशा पहचानें#

श्रृंखला: सभी A, B हैं। सभी B, C हैं। अतः सभी A, C हैं।

all-all

उदाहरण: सभी कवि पाठक हैं। सभी पाठक सीखने वाले हैं। सभी कवि सीखने वाले हैं अनुसरण करता है। सभी सीखने वाले कवि हैं अनुसरण नहीं करता। इस अध्याय के नियम में कुछ सीखने वाले कवि हैं के लिए कवियों के अस्तित्व का अतिरिक्त तथ्य चाहिए।

साझा बड़ा वर्ग: सभी A, B हैं; सभी C, B हैं। A और C में निश्चित संबंध नहीं निकलता। वे B में साझा, अलग या बराबर हो सकते हैं। सभी गुलाब और सभी लिली फूल हैं से सभी गुलाब लिली हैं सिद्ध नहीं होता।

साझा छोटा वर्ग: सभी B, A हैं; सभी B, C हैं। सभी B, A ∩ C में हैं। B मौजूद हो तो कुछ A, C हैं निकलेगा; अस्तित्व की शर्त के बिना नहीं। केवल ‘सभी + सभी’ शब्द उत्तर तय नहीं करते; मध्य पद की स्थिति महत्त्वपूर्ण है।

5. कुछ + कुछ: दोनों सदस्य अलग हो सकते हैं#

कुछ A, B हैं। कुछ B, C हैं। A और C में कोई निश्चित संबंध नहीं निकलता। पहला सदस्य x और दूसरा y हो सकता है। दोनों का B का वही सदस्य होना आवश्यक नहीं।

some-some

प्रतिउदाहरण: A = {x}, B = {x, y}, C = {y}। दोनों कथन सही हैं लेकिन कुछ A, C हैं गलत है। दूसरा वैध मॉडल A = B = C = {x} है; उसमें कुछ A, C हैं सही है। दोनों प्रकार के मॉडल संभव होने से न कुछ A, C हैं और न कोई A, C नहीं है अलग से अनिवार्य है।

उदाहरण: कुछ कलाकार शिक्षक हैं। कुछ शिक्षक धावक हैं। कुछ कलाकार धावक हैं संभव है, निश्चित नहीं। कोई कलाकार धावक नहीं है भी निश्चित नहीं। मान्य रूपांतरण सही रहते हैं: कुछ शिक्षक कलाकार और कुछ धावक शिक्षक हैं।

सामान्य तीन-पद न्यायवाक्य में ‘दो विशेष कथनों से अंतिम पदों के बीच आवश्यक संबंध नहीं मिलता’ उपयोगी नियम है। इसका अर्थ मूल कथन या उनके मान्य रूपांतरण का गलत हो जाना नहीं है।

6. कोई नहीं + कोई नहीं: साझा निषेध संबंध नहीं बनाता#

कोई A, B नहीं है। कोई B, C नहीं है। A और C के बीच निश्चित संबंध नहीं निकलता। एक ही वर्ग से अलग होने पर दो अन्य वर्ग एक-दूसरे से अलग नहीं हो जाते।

no-no

प्रतिमॉडल: A = C = {x}, B = {y} दोनों कथन संतुष्ट करता है और A–C साझा हैं। A = {x}, B = {y}, C = {z} भी दोनों संतुष्ट करता है लेकिन A और C अलग हैं। इसलिए ‘कोई A, C नहीं’, ‘कुछ A, C हैं’ और ‘सभी A, C हैं’ अलग-अलग निश्चित नहीं हैं।

उदाहरण: कोई बिल्ली पक्षी नहीं है। कोई पक्षी कुत्ता नहीं है। केवल इन कथनों से कोई बिल्ली कुत्ता नहीं है नहीं निकाल सकते। बिल्ली और कुत्ते का वास्तविक ज्ञान प्रश्न के बाहर है।

सुरक्षित रूपांतरण बने रहते हैं: कोई B, A नहीं तथा कोई C, B नहीं। इस स्वरूप में दो निषेधात्मक कथन अंतिम पदों के बीच आवश्यक संबंध स्थापित नहीं करते।

7. सभी + कुछ: मौजूद उपसमूह कहाँ है#

स्वरूप 1: सभी A, B हैं; कुछ B, C हैं। कुछ A, C हैं अनुसरण नहीं करता। B–C का सदस्य A के बाहर हो सकता है।

all-some

प्रतिउदाहरण: A = {x}, B = {x, y}, C = {y}। दोनों कथन सही हैं लेकिन A और C साझा नहीं हैं।

स्वरूप 2: सभी B, A हैं; कुछ B, C हैं। कुछ A, C हैं अनुसरण करता है: B–C के सदस्य को लें; प्रत्येक B, A होने के कारण वही सदस्य A और C दोनों में है। कुछ C, A हैं भी सही है।

स्वरूप 3: सभी A, B हैं; कुछ C, A हैं। कुछ C, B हैं अनुसरण करता है। सदस्य छोटे वर्ग A में शुरू होता और A → B के साथ आगे जाता है।

समतुल्य क्रम: कुछ A, B हैं; सभी B, C हैं से कुछ A, C हैं निकलता है। कथनों को लिखने का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। सभी वाले कथन का उद्देश्य और विधेय उलटने से अर्थ बदल जाता है।

8. सभी + कोई नहीं: छोटे वर्ग तक निषेध#

स्वरूप 1: सभी A, B हैं; कोई B, C नहीं है। इसलिए कोई A, C नहीं है और समतुल्य रूप से कोई C, A नहीं है।

all-no

उदाहरण: सभी वर्ग आकृतियाँ हैं। कोई आकृति ध्वनि नहीं है। कोई वर्ग ध्वनि नहीं है अनुसरण करता है। घोषित नियम के अनुसार ‘कुछ वर्ग ध्वनि नहीं हैं’ के लिए वर्गों का अस्तित्व भी चाहिए।

स्वरूप 2: कोई A, B नहीं है; सभी C, B हैं। तब कोई A, C नहीं है निकलेगा। C उस वर्ग के भीतर है जिससे A बाहर रखा गया है।

अमान्य दिशा: सभी A, B हैं; कोई A, C नहीं है से कोई B, C नहीं है नहीं निकलता। A के बाहर वाला B, C से साझा हो सकता है। प्रतिउदाहरण: A = {x}, B = {x, y}, C = {y}।

सोचें ‘पूरे वर्ग का निषेध उसके भागों पर लागू होता है’; भाग का निषेध स्वतः पूरे वर्ग पर लागू नहीं होता। इससे पदों की स्थिति को अनदेखा करने वाला सूत्र याद किए बिना मान्य स्वरूप समझ आता है।

9. कुछ + कोई नहीं: उसी सदस्य को बनाए रखें#

कुछ A, B हैं। कोई B, C नहीं है। इसलिए कुछ A, C नहीं हैं।

some-no

ज्ञात A–B सदस्य x लें। कोई B, C नहीं हो सकता, इसलिए x, C के बाहर है। कथन हर A को C से बाहर नहीं रखते: अन्य A, C में हो सकते हैं। अतः कोई A, C नहीं है अनुसरण नहीं करता। कुछ C, A नहीं हैं भी नहीं निकलता, क्योंकि यह O-प्रकार का उलटाव है और C का अस्तित्व भी गढ़ सकता है।

उदाहरण: कुछ संगीतकार शिक्षक हैं। कोई शिक्षक पायलट नहीं है। कुछ संगीतकार पायलट नहीं हैं अनुसरण करता है। कोई संगीतकार पायलट नहीं है अनुसरण नहीं करता।

क्रम बदला हुआ मान्य स्वरूप: कोई A, B नहीं है; कुछ B, C हैं → कुछ C, A नहीं हैं। कुछ वाले कथन का रूपांतरण करें या उसी B–C सदस्य का अनुसरण करें। कौन-सा वर्ग सदस्य को निश्चित रूप से रखता और कौन-सा बाहर करता है, इसे बनाए रखें।

10. विश्लेषणात्मक विधि: तीर, निषेध एवं सदस्य#

सभी A, B हैं के लिए A → B; कोई A, B नहीं है के लिए A ⟂ B; कुछ A, B हैं के लिए x ∈ A,B; कुछ A, B नहीं हैं के लिए x ∈ A और x ∉ B लिखें।

1. प्रस्तावित निष्कर्ष के अंतिम पद और कथनों को जोड़ने वाला मध्य पद पहचानें।
2. प्रत्येक सभी वाला तीर वास्तविक दिशा में लिखें। केवल आगे की श्रृंखला जोड़ें।
3. कोई नहीं को सममित निषेध लिखें: A ⟂ B का अर्थ B ⟂ A भी है।
4. प्रत्येक कुछ/कुछ-नहीं कथन को अपना सदस्य x, y आदि दें। बिना कारण उन्हें एक न करें।
5. सदस्य को सभी वाले तीर में आगे बढ़ाएँ और कोई नहीं से निषिद्ध वर्ग से बाहर रखें।
6. हर निष्कर्ष अलग जाँचें। अनिवार्य न लगे तो प्रतिमॉडल बनाएँ।

हल की श्रृंखला: कुछ A, B हैं; सभी B, C हैं; कोई C, D नहीं है। x को A और B मानें। B → C से x, C में होगा; C ⟂ D से x, D के बाहर होगा। अतः कुछ A, C हैं और कुछ A, D नहीं हैं अनुसरण करते हैं। कोई A, D नहीं है नहीं निकलता क्योंकि तर्क केवल एक विशेष A सदस्य पर चला है।

निषेध परीक्षण: निष्कर्ष का विपरीत कथनों में जोड़ें। कोई संगत मॉडल संभव न हो तो निष्कर्ष आवश्यक है। सभी A, C हैं जाँचने के लिए एक A को C के बाहर रखने का प्रयास करें। हर ऐसा स्थान किसी कथन को तोड़े तो सभी A, C हैं अनुसरण करता है। पहले मूल कथनों की संगति जाँचें; सामान्य परीक्षा प्रश्नों में संगत कथन अपेक्षित होते हैं।

11. व्याप्ति विधि: अतिरिक्त विश्लेषणात्मक जाँच#

किसी पद की व्याप्ति तब होती है जब कथन उस वर्ग के प्रत्येक सदस्य के बारे में बात करता है।

सामान्य तीन-पद श्रेणीगत न्यायवाक्य में मध्य पद कम-से-कम एक बार व्याप्त होना चाहिए। निष्कर्ष में व्याप्त पद संबंधित कथन में भी व्याप्त होना चाहिए। दो निषेधात्मक कथन अंतिम पदों का निष्कर्ष नहीं बनाते; मान्य सामान्य स्वरूप में निषेधात्मक कथन होने पर निष्कर्ष भी निषेधात्मक होता है। दो विशेष कथन सामान्य आवश्यक अंतिम-पद निष्कर्ष नहीं बनाते।

उदाहरण: सभी A, B हैं; सभी C, B हैं → सभी A, C हैं असफल है क्योंकि B दोनों कथनों में अव्याप्त है। सभी A, B हैं; कोई A, C नहीं है → कोई B, C नहीं है असफल है क्योंकि निष्कर्ष में B व्याप्त है लेकिन उसके कथन में नहीं।

ये परीक्षण परिचित मानक स्वरूपों की त्रुटि पहचानते हैं। असामान्य भाषा, अतिरिक्त कथन, संभावना या विरोधी कथनों पर इन्हें बिना विचार न लगाएँ। विशेषतः जहाँ विशेष निष्कर्ष को अनकहा अस्तित्व चाहिए, सभी मॉडल/सदस्य परीक्षण अंतिम आधार है।

12. कुछ-नहीं वाले स्वरूप एवं अतिरिक्त संयोजन#

पहली पंक्ति में B के बाहर का सदस्य C के भी बाहर होगा क्योंकि पूरा C, B के भीतर है। दूसरी में A का सदस्य C में जाता है और B से बाहर रहता है। चौथी में B का सदस्य A के बाहर हो सकता है; A → B में उसे पीछे न चलाएँ।

कुछ A, B नहीं हैं से कुछ B, A नहीं हैं नहीं निकलता। प्रतिउदाहरण: A = {x, y}, B = {y}। पहला सही है लेकिन हर B, A है। कुछ-नहीं का गलत उलटाव बहुत सामान्य त्रुटि है।

13. केवल, केवल कुछ, सभी नहीं एवं कम-से-कम#

केवल A ही B हैं का अर्थ सभी B, A हैं: केवल पाठक ही कवि हैं → प्रत्येक कवि पाठक है। A केवल B हैं, जब अर्थ ‘A विशेष रूप से B ही हैं’ हो, तो सभी A, B हैं। वाक्य की दिशा ध्यान से पढ़ें; केवल शब्द दिखने पर हर वाक्य न उलटें।

सामान्य योग्यता-परीक्षा नियम में केवल कुछ A, B हैं दो बातें देता है: कुछ A, B हैं और कुछ A, B नहीं हैं। इससे कुछ B, A नहीं हैं सिद्ध नहीं होता। केवल कुछ A, B हैं का अर्थ ‘केवल कुछ’ नहीं; सभी A भी B हो सकते हैं।

सभी A, B नहीं हैं, यदि स्पष्ट अर्थ ‘ऐसा नहीं कि हर A, B है’ हो, तो कुछ A, B नहीं हैं है। यह कोई A, B नहीं है के समान नहीं। ‘कम-से-कम कुछ’ एक या अधिक बताता है। अंग्रेज़ी का ‘All A are not B’ अस्पष्ट हो सकता है; अच्छे प्रश्न में स्पष्ट ‘No A is B’ या ‘Not all A are B’ होना चाहिए। प्रश्नपत्र की दी परिभाषा अपनाएँ, अनुमान नहीं।

‘केवल कुछ’ की परीक्षा में अलग परिभाषा दी हो तो वही लागू करें। ‘केवल A ही B हैं’ और ‘कुछ B मौजूद हैं’ दिया हो तो वे B सदस्य A होंगे; केवल शब्द स्वयं सदस्य का अस्तित्व नहीं बनाता।

14. निश्चित, संभव एवं असंभव निष्कर्ष#

निश्चित निष्कर्ष हर वैध मॉडल में सही है। संभव निष्कर्ष कम-से-कम एक वैध मॉडल में सही है। असंभव निष्कर्ष हर वैध मॉडल में गलत है। अनुसरण न करने वाला निष्कर्ष संभव भी हो सकता है और असंभव भी; अनुसरण नहीं करता का अर्थ गलत होना नहीं है।

सभी A, B हैं; कुछ B, C हैं से कुछ A, C हैं संभव है लेकिन आवश्यक नहीं। A और C अलग भी हो सकते हैं। सभी A, B हैं; कोई B, C नहीं है से कुछ A, C हैं असंभव है।

‘सभी A के C होने की संभावना’ जाँचने के लिए सभी A को C में रखकर देखें कि कोई कथन टूटता है या नहीं। शुद्ध तर्क में खाली A सार्वभौम कथन संतुष्ट कर सकता है; योग्यता-परीक्षा के संभावना प्रश्न अक्सर गैर-रिक्त समूह मानते हैं। प्रश्न का नियम बताएँ या उसका पालन करें। कुछ A मौजूद हैं तथा कोई A, C नहीं है होने पर सभी A के C होने की संभावना असंभव है। अस्तित्व के बिना उस सार्वभौम संभावना को स्वतः असंभव बताना अशुद्ध है।

कुछ परीक्षा कुंजियाँ संभावना का अर्थ संभव लेकिन पहले से निश्चित नहीं लेती हैं। इस अध्याय की तार्किक संभावना में निश्चित सत्य शामिल हैं, क्योंकि संगत कथनों के हर वैध मॉडल में सही बात कम-से-कम एक में भी सही है। उत्तर श्रेणियाँ संकीर्ण अर्थ लेती हों तो परीक्षा निर्देश देखें।

15. या-तो निष्कर्ष एवं विरोधी युग्म#

पहले निष्कर्ष I और II अलग जाँचें। या-तो उत्तर तब उचित है जब कोई निष्कर्ष अकेला अनिवार्य न हो, लेकिन हर वैध मॉडल में ठीक एक अवश्य सही हो। केवल दो अनिश्चित निष्कर्ष मिलना पर्याप्त नहीं।

समान क्रम वाले पदों के स्पष्ट विरोधी युग्म हैं:

उदाहरण: कुछ A, B हैं; कुछ B, C हैं। निष्कर्ष: I. कुछ A, C हैं। II. कोई A, C नहीं है। कोई अकेला अनिवार्य नहीं, लेकिन वे ठीक विपरीत हैं; एक अवश्य सही होगा। इसलिए इस उत्तर-पद्धति में या तो I या II अनुसरण करता है।

सावधानी: कुछ A, C हैं और कुछ A, C नहीं हैं दोनों साथ सही हो सकते हैं; वे परस्पर अपवर्जित या-तो युग्म नहीं। सभी A, C हैं और कोई A, C नहीं है भी सभी स्थितियाँ नहीं समेटते: आंशिक साझा गैर-रिक्त A में दोनों गलत हैं। शुद्ध तर्क में A खाली हो तो दोनों सार्वभौम कथन सही हो सकते हैं।

आवश्यक हो तो E और I का मान्य रूपांतरण करके पदों का क्रम मिलाएँ। विरोधी युग्म बनाने के लिए O कथन न उलटें। यदि एक निष्कर्ष अकेला ही अनुसरण करता है तो वही निश्चित विकल्प चुनें, अनावश्यक या-तो नहीं।

16. हल किए परीक्षा उदाहरण#

उदाहरण 1 — आगे की श्रृंखला। सभी पेन उपकरण हैं; सभी उपकरण वस्तुएँ हैं। I: सभी पेन वस्तुएँ हैं। II: सभी वस्तुएँ पेन हैं। केवल I अनुसरण करता है। छोटा वर्ग समावेशन में आगे जाता है; उलटाव उचित नहीं।

उदाहरण 2 — सदस्य श्रृंखला। कुछ विद्यार्थी गायक हैं; सभी गायक कलाकार हैं। I: कुछ विद्यार्थी कलाकार हैं। II: कुछ कलाकार विद्यार्थी हैं। दोनों अनुसरण करते हैं। वही मौजूद विद्यार्थी कलाकार है; I-प्रकार का रूपांतरण मान्य है।

उदाहरण 3 — सीमित सदस्य। कुछ कर्मचारी पाठक हैं; कोई पाठक तैराक नहीं है। I: कुछ कर्मचारी तैराक नहीं हैं। II: कोई कर्मचारी तैराक नहीं है। केवल I अनुसरण करता है। अन्य कर्मचारी तैराक हो सकते हैं।

उदाहरण 4 — साझा बड़ा वर्ग। सभी गुलाब फूल हैं; सभी लिली फूल हैं। I: कुछ गुलाब लिली हैं। II: कोई गुलाब लिली नहीं है। या तो I या II, परस्पर पूरक युग्म के नियम में। कोई अकेला निश्चित नहीं, लेकिन एक अवश्य सही होगा। ‘दोनों अनुसरण करते हैं’ न चुनें।

उदाहरण 5 — केवल कुछ। केवल कुछ कलाकार गायक हैं; सभी गायक प्रदर्शनकर्ता हैं। I: कुछ कलाकार प्रदर्शनकर्ता हैं। II: कुछ कलाकार प्रदर्शनकर्ता नहीं हैं। केवल I अनुसरण करता है। गायकों के बाहर वाला कलाकार भी प्रदर्शनकर्ता हो सकता है; उपसमूह के बाहर होना बड़े समूह से बाहर होना नहीं।

उदाहरण 6 — समावेशन और निषेध। कुछ A, B नहीं हैं; सभी C, B हैं। I: कुछ A, C नहीं हैं। II: कुछ C, A नहीं हैं। केवल I अनुसरण करता है। B के बाहर ज्ञात A उसके उपसमूह C में नहीं जा सकता; C का A से बाहर सदस्य स्थापित नहीं है।

उदाहरण 7 — तीन कथन। सभी A, B हैं; कुछ C, A हैं; कोई B, D नहीं है। I: कुछ C, D नहीं हैं। II: कोई A, D नहीं है। दोनों अनुसरण करते हैं। I के लिए C–A सदस्य और II के लिए पूरी A → B निषेध श्रृंखला देखें।

उदाहरण 8 — अस्तित्व का भ्रम। सभी A, B हैं; कोई B, C नहीं है। I: कोई A, C नहीं है। II: कुछ A, C नहीं हैं। घोषित अनकहा अस्तित्व न मानने के नियम में केवल I। A मौजूद होने का अतिरिक्त कथन हो तो दोनों निकलेंगे। अच्छा उत्तर शॉर्टकट से पहले नियम पहचानता है।

17. अभ्यास: व्याख्या सहित बारह प्रश्न#

प्रश्न 1–10 में चुनें: (a) केवल I; (b) केवल II; (c) दोनों; (d) कोई अकेला नहीं और अनिवार्य या-तो भी नहीं; (e) या तो I या II, लेकिन कोई अकेला नहीं। पहले बताया अस्तित्व नियम लागू करें।

1. सभी A, B हैं; सभी B, C हैं। I: सभी A, C हैं। II: सभी C, A हैं।
2. कुछ A, B हैं; कुछ B, C हैं। I: सभी A, C हैं। II: कुछ C, A नहीं हैं।
3. कोई A, B नहीं है; कोई B, C नहीं है। I: कोई A, C नहीं है। II: सभी A, C हैं।
4. सभी B, A हैं; कुछ B, C हैं। I: कुछ A, C हैं। II: कुछ C, A हैं।
5. सभी A, B हैं; कोई B, C नहीं है। I: कोई C, A नहीं है। II: कुछ C, A नहीं हैं।
6. कुछ A, B हैं; कोई B, C नहीं है। I: कुछ A, C नहीं हैं। II: कोई A, C नहीं है।
7. कुछ A, B नहीं हैं; सभी A, C हैं। I: कुछ C, B नहीं हैं। II: कुछ B, C नहीं हैं।
8. केवल A ही B हैं; कुछ B, C हैं। I: कुछ A, C हैं। II: सभी C, A हैं।
9. केवल कुछ A, B हैं; सभी B, C हैं। I: कुछ A, C हैं। II: कुछ A, C नहीं हैं।
10. कुछ A, B हैं; कुछ B, C हैं। I: कुछ A, C हैं। II: कोई A, C नहीं है।
11. कुछ A, B हैं; कोई B, C नहीं है। कौन असंभव है? (a) कुछ A, C हैं; (b) कुछ A, C नहीं हैं; (c) सभी A, C हैं; (d) कुछ C, A नहीं हैं।
12. सभी A, B हैं; कुछ B, C हैं। कौन-सा मॉडल ‘कुछ A, C हैं’ को गलत सिद्ध करता है? (a) A={x}, B={x,y}, C={y}; (b) A=B=C={x}; (c) A={x}, B={y}, C={x}; (d) A={x}, B={x}, C=रिक्त।

उत्तर और तर्क#

उत्तर पढ़ने से पहले स्वयं हल करें। प्रत्येक ‘अनुसरण नहीं करता’ के लिए ऐसा मॉडल बनाएँ जिसमें कथन सही और निष्कर्ष गलत हो। परिचित दिखने वाला विकल्प पहचानने से यह अधिक विश्वसनीय है।

18. त्वरित पुनरावृत्ति एवं विद्यार्थी अध्ययन योजना#

सात गलतियों से बचें: सभी को उलटना; कुछ-नहीं उलटना; कुछ को ‘कुछ लेकिन सभी नहीं’ पढ़ना; अलग सदस्यों को मिलाना; विशेष निष्कर्ष को सार्वभौम बनाना; सुविधाजनक एक चित्र को प्रमाण मानना; अस्तित्व या संभावना का नियम अनदेखा करना।

अध्ययन योजना: सत्र 1—20 वाक्यों को A/E/I/O में बदलें और चार मूल चित्र बनाएँ। सत्र 2—छह संयोजन हल करें और हर अमान्य अनुमान का एक प्रतिउदाहरण बनाएँ। सत्र 3—तीर एवं व्याप्ति से उन्हीं उत्तरों की व्याख्या करें। सत्र 4—बिना कुंजी अभ्यास हल करके गलती का कारण लिखें। गलत हुए स्वरूप तब तक दोहराएँ जब तक एक वाक्य में उत्तर उचित ठहरा सकें।

विकल्प चुनने से पहले पूछें: क्या केवल कथन इस्तेमाल किए? तीर की दिशा बचाई? क्या यह वही सदस्य है? निष्कर्ष हर वैध मॉडल में सही है? या-तो से पहले I और II अलग जाँचे? गति से पहले शुद्धता आती है।

यह जानकारी कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) द्वारा तैयार की गई है।