आकृतियों की गणना: त्रिभुज, वर्ग और आयत

1. किसे गिनना है?#

माँगी गई आकृति की हर अलग बंद सीमा गिनें, जो पूरी तरह खींची रेखाओं पर बनी हो। छोटी आकृतियों के साथ कई छोटी आकृतियों को मिलाकर बनने वाली बड़ी आकृतियाँ भी शामिल करें। रेखाओं का प्रतिच्छेद शीर्ष बन सकता है। किसी आकृति के भीतर अतिरिक्त रेखा गुजरने से वह आकृति समाप्त नहीं होती। गायब या टूटी सीमा को कल्पना से पूरा नहीं कर सकते।

एक ही त्रिभुज को दक्षिणावर्त और वामावर्त देखने पर दो त्रिभुज नहीं होते। साझा भुजा वाली दो आकृतियाँ अलग-अलग गिनी जा सकती हैं। एक-दूसरे पर चढ़ी आकृतियाँ भी गिनें, यदि प्रत्येक की सीमा पूरी है। चित्र का बाहरी फ्रेम, प्रश्न संख्या और सहायक निशान भुजा नहीं हैं।

2. मूल परिभाषाएँ#

आकृति	आवश्यक गुण
त्रिभुज	तीन असंरेख शीर्ष और उन्हें जोड़ती तीन सीधी भुजाएँ
आयत	चार समकोण; सामने की भुजाएँ समान और समानांतर
वर्ग	चार समान भुजाओं वाला आयत
अवर्ग आयत	ऐसा आयत जिसकी पास-पास की भुजाओं की लंबाई अलग हो

वर्ग भी आयत है। प्रश्न में “आयत, वर्ग सहित” हो तो वर्ग शामिल करें। “वर्गों को छोड़कर आयत” हो तो वर्ग घटाएँ। इस अध्याय में हर प्रश्न में आशय स्पष्ट किया गया है। हीरे जैसा दिखने वाला चतुर्भुज तभी वर्ग है जब भुजाएँ बराबर और कोण समकोण हों। केवल दिखावट से निर्णय न लें।

3. व्यवस्थित गणना की विधि#

1. माँगी गई आकृति और अपवाद पढ़ें।
2. उपयोगी शीर्ष तथा प्रतिच्छेद पहचानें।
3. आकार, दिशा, स्थान या साझा शीर्ष के अनुसार समूह बनाएँ।
4. एक समूह पूरा गिनने के बाद अगला लें।
5. हर सीमा की जाँच करें और आकृति केवल एक बार लिखें।
6. उप-योग जोड़ें; संभव हो तो दूसरे तरीके से पुनः जाँचें।

शीर्षों को अस्थायी नाम A, B, C दें। त्रिभुज के तीन शीर्ष लिखने से वही त्रिभुज अलग कोने से दोबारा नहीं गिना जाता। आयत के लिए ऊपर-नीचे और बाएँ-दाएँ की चुनी रेखाएँ लिख सकते हैं।

4. साझा शीर्ष वाले त्रिभुज#

एक सीधे आधार पर n छोटे त्रिभुज साथ-साथ हों और सभी का शीर्ष एक हो, तो शीर्ष से आधार तक n+1 किरणें होंगी। कोई भी दो किरणें चुनें; उनके बीच का आधार-खंड त्रिभुज पूरा करता है।

कुल = C(n+1,2) = n(n+1)/2 = 1+2+…+n।

उदाहरण: चार सबसे छोटे त्रिभुज हों तो 4+3+2+1 = 10 त्रिभुज हैं। एक, दो, तीन और चार छोटे आधार-अंतराल घेरने वाले त्रिभुज अलग समूह हैं। उत्तर केवल चार नहीं है।

इस सूत्र के लिए साझा शीर्ष और सभी किरणों को जोड़ने वाला पूरा सीधा आधार आवश्यक है। किसी भी अनियमित त्रिभुजीय चित्र पर इसे न लगाएँ।

5. कई समानांतर स्तर वाला साझा शीर्ष#

वही n+1 किरणें यदि आधार सहित k पूर्ण समानांतर आड़ी रेखाओं से मिलती हों, तो हर स्तर आधार बन सकता है। सभी तिरछी किरणें केवल साझा शीर्ष पर मिलती हैं, इसलिए हर त्रिभुज दो किरणों और एक स्तर से बनेगा।

कुल = k × n(n+1)/2।

उदाहरण: पाँच किरणें और तीन आड़े स्तर हों तो 3 × C(5,2) = 30 त्रिभुज। स्तरों के बीच की खाली पट्टियाँ नहीं, आड़ी रेखाएँ गिनें। किसी स्तर का खंड गायब हो तो सीधा गुणा लागू नहीं होगा; प्रभावित सीमाएँ अलग जाँचें। समानांतर स्तर अकेले त्रिभुज नहीं बनाते।

6. पूर्ण त्रिभुजीय जाल#

सामान्य त्रिभुजीय जाल में बाहरी हर भुजा n बराबर भागों में बँटी हो और तीनों दिशाओं की रेखाएँ पूरी हों, तो:

कुल त्रिभुज = floor[n(n+2)(2n+1)/8]।

यहाँ floor का अर्थ मान से बड़ा न होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक है।

n	कुल त्रिभुज
1	1
2	5
3	13
4	27
5	48
6	78

कारण समझें: k इकाई भुजा वाले ऊपरमुखी त्रिभुजों की संख्या (n−k+1)(n−k+2)/2 है, जहाँ k=1,…,n। नीचेमुखी त्रिभुजों की संख्या (n−2k+1)(n−2k+2)/2 है, जहाँ k=1,…,floor(n/2)। दोनों योग जोड़ें। n=3 पर ऊपरमुखी 6+3+1=10 और नीचेमुखी 3 हैं; कुल 13।

यह सूत्र पूरे जाल पर लागू है, केवल त्रिभुजीय बाहरी सीमा पर नहीं। यहाँ जाल के चित्र ऊँचाई में संकुचित दिखाए गए हैं। इससे सीधी रेखाओं का जुड़ाव और त्रिभुजों की संख्या सुरक्षित रहती है। इससे किसी दूसरे प्रश्न के लिए समबाहु लंबाइयाँ न मानें।

7. n × n इकाई जाल में वर्ग#

n × n जाल में इकाई वर्गों की n पंक्तियाँ और n स्तंभ हैं। k इकाई भुजा वाला वर्ग आड़ा n−k+1 स्थानों और खड़ा भी उतने ही स्थानों से शुरू हो सकता है।

कुल वर्ग = n²+(n−1)²+…+1² = n(n+1)(2n+1)/6।

3 × 3 जाल में 9 छोटे, 4 दो-इकाई भुजा वाले और 1 बाहरी वर्ग है: कुल 14। 4 × 4 जाल में 16+9+4+1=30। केवल छोटे खाने नहीं, हर आकार गिनें।

8. m × n आयताकार जाल में वर्ग#

इकाई वर्गों के m स्तंभ और n पंक्तियाँ हों तो k इकाई भुजा वाले वर्गों की संख्या (m−k+1)(n−k+1) है। k का मान 1 से min(m,n) तक होगा।

कुल = सभी k के लिए (m−k+1)(n−k+1) का योग।

उदाहरण: 4 स्तंभ और 3 पंक्तियों में 4×3 + 3×2 + 2×1 = 20 वर्ग हैं। छोटी दिशा सबसे बड़े वर्ग की सीमा तय करती है। खाने असमान भुजाओं वाले आयत हों तो केवल खाने गिनकर यही वर्ग-सूत्र नहीं लगा सकते; वास्तविक लंबाई देखें। केवल आड़ी-खड़ी रेखाओं से तिरछे वर्ग की सीमा नहीं बनती।

9. पूर्ण जाल में आयत#

m स्तंभ और n पंक्तियों वाले जाल में m+1 खड़ी और n+1 आड़ी सीमारेखाएँ होती हैं। दोनों समूहों में से दो-दो अलग रेखाएँ चुनें।

वर्ग सहित कुल आयत = C(m+1,2)C(n+1,2) = m(m+1)n(n+1)/4।

उदाहरण: 4 × 3 जाल में C(5,2)C(4,2)=10×6=60 आयत हैं। इनमें 20 वर्ग हैं, इसलिए अवर्ग आयत 40 हैं। समानांतर रेखाओं के बीच दूरी असमान होने पर भी आयतों की संख्या नहीं बदलती, यदि दोनों दिशाएँ परस्पर लंबवत हों। लेकिन उनमें वर्गों की संख्या बदल सकती है।

10. पंक्तियाँ, स्तंभ और रेखाएँ अलग हैं#

पाँच खड़ी और चार आड़ी रेखाओं का अर्थ चार स्तंभ और तीन पंक्तियाँ है। आयत C(5,2)C(4,2)=60 होंगे। पाँच और चार को सीधे खानों की संख्या न समझें।

दूसरी जाँच में चौड़ाई w तथा ऊँचाई h के अनुसार समूह बनाएँ। हर आकार के (m−w+1)(n−h+1) आयत मिलेंगे। सभी w=1,…,m और h=1,…,n के लिए जोड़ने पर वही सूत्र मिलता है। रेखा-चयन में संदेह हो तो यह तरीका उपयोग करें।

11. विकर्ण, तिरछी आकृतियाँ और प्रतिच्छेद#

अतिरिक्त विकर्ण नए शीर्ष और त्रिभुज बना सकते हैं। दोनों विकर्णों वाले एक वर्ग में केंद्र के आसपास 4 छोटे त्रिभुज और आधे वर्ग के बराबर 4 बड़े त्रिभुज होते हैं: कुल 8। केवल छोटे गिनने पर आधा उत्तर छूटता है।

विकर्ण तिरछे वर्ग या आयत की भुजाएँ बन सकते हैं, लेकिन चारों भुजाएँ खींची होनी चाहिए और समकोण पर मिलनी चाहिए। विकर्णों से बनने वाला हर चतुर्भुज आयत नहीं होता। अतिरिक्त तिरछी सीमाएँ हों तो केवल साधारण जाल का सूत्र लगाकर न रुकें; उन दिशाओं को भी जाँचें।

12. गायब रेखाखंड और अनियमित चित्र#

जाल का कुछ भाग मिटा हो तो पूर्ण जाल का सूत्र केवल संदर्भ है, अंतिम उत्तर नहीं। एक छोटा गायब खंड कई बड़ी आकृतियाँ बिगाड़ सकता है। हर मिटे खंड के लिए केवल एक घटाना गलत है।

हर संभावित आयत की चारों सीमाएँ देखें। आयत के भीतर का अंतर उसे नहीं बिगाड़ता, लेकिन उसकी सीमा पर अंतर होने से आयत नहीं बनेगा। दो गायब खंड एक ही आयत को बिगाड़ सकते हैं; अलग-अलग घटाने पर वही आयत दो बार घट जाएगा। छोटे चित्र में सीधे वैध सीमाएँ गिनना अधिक सुरक्षित है।

त्रिभुज के लिए हर चुने शीर्ष-युग्म के बीच पूरी सीधी रेखा होनी चाहिए। एक ही सीध में तीन बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते। मुड़ा हुआ रास्ता सीधी भुजा का स्थान नहीं ले सकता।

13. परीक्षा की सामान्य गलतियाँ#

गलती	सुधार
केवल छोटे टुकड़े गिनना	आकारवार सूची बनाएँ
उलटे त्रिभुज भूलना	ऊपरमुखी और नीचेमुखी समूह अलग गिनें
हर हीरे जैसी आकृति को वर्ग मानना	समान भुजाएँ और समकोण जाँचें
एक आकृति दो बार गिनना	शीर्ष-समूह या सीमा-युग्म निश्चित करें
सभी आयतों में वर्ग छोड़ना	प्रश्न की शर्त पढ़ें
टूटे जाल में पूर्ण जाल का सूत्र लगाना	सूत्र की शर्तें पहले जाँचें
क्षेत्रों को गिनना, सीमाएँ नहीं	पूरी बंद सीमा पर चलकर देखें
न खींची रेखा मान लेना	केवल दिखाई देने वाली रेखाएँ लें

14. पुनरावृत्ति और अभ्यास योजना#

• साझा शीर्ष, n छोटे आधार-अंतराल: n(n+1)/2।
• उसी बनावट में k पूर्ण समानांतर स्तर: k n(n+1)/2।
• पूर्ण त्रिभुजीय जाल: floor[n(n+2)(2n+1)/8]।
• n × n इकाई वर्ग-जाल: n(n+1)(2n+1)/6 वर्ग।
• m × n इकाई वर्ग-जाल: (m−k+1)(n−k+1) का योग।
• पूर्ण लंबवत m × n जाल: वर्ग सहित m(m+1)n(n+1)/4 आयत।
• अवर्ग आयत: सभी आयत − वर्ग।

समयबद्ध अभ्यास से पहले समूह बनाकर शुद्ध गणना सीखें। ऑनलाइन 80 प्रश्नों में साझा शीर्ष वाले 20 त्रिभुज प्रश्न, वर्ग-जाल के 20 प्रश्न, आयतों के 20 प्रश्न और त्रिभुजीय जाल, विकर्ण तथा टूटे जाल के 20 मिश्रित प्रश्न हैं। चार परीक्षाओं में 20-20 और संपूर्ण परीक्षा में सभी 80 प्रश्न हैं। नीचे 30 हल सहित अभ्यास दिए हैं। मिश्रित प्रश्नों की व्याख्या में क्षेत्रफल के समूह गणना की जाँच के लिए हैं; क्षेत्रफल चित्र बनाने वाले इकाई निर्देशांकों के अनुसार हैं।

15. चित्रात्मक अभ्यास#

अभ्यास 01#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 3 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 1 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 3 · B: 5 · C: 4 · D: 2

अभ्यास 02#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 7 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 1 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 21 · B: 22 · C: 20 · D: 23

अभ्यास 03#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 3 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 2 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 8 · B: 6 · C: 7 · D: 5

अभ्यास 04#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 7 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 2 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 44 · B: 42 · C: 43 · D: 41

अभ्यास 05#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 7 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 3 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 62 · B: 64 · C: 63 · D: 65

अभ्यास 06#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 7 किरणों का एक साझा शीर्ष है और बाहरी किरणों को जोड़ने वाले 4 क्षैतिज स्तर हैं (आधार सहित)।

A: 83 · B: 85 · C: 86 · D: 84

अभ्यास 07#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 2 स्तंभ और 2 पंक्तियाँ हैं।

A: 5 · B: 7 · C: 6 · D: 4

अभ्यास 08#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 5 स्तंभ और 2 पंक्तियाँ हैं।

A: 13 · B: 15 · C: 16 · D: 14

अभ्यास 09#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 3 स्तंभ और 3 पंक्तियाँ हैं।

A: 16 · B: 13 · C: 14 · D: 15

अभ्यास 10#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 3 पंक्तियाँ हैं।

A: 40 · B: 39 · C: 38 · D: 37

अभ्यास 11#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 4 पंक्तियाँ हैं।

A: 61 · B: 59 · C: 60 · D: 62

अभ्यास 12#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 6 पंक्तियाँ हैं।

A: 113 · B: 114 · C: 111 · D: 112

अभ्यास 13#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 2 स्तंभ और 2 पंक्तियाँ हैं।

A: 9 · B: 8 · C: 11 · D: 10

अभ्यास 14#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्गों को छोड़कर आयत बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 5 स्तंभ और 2 पंक्तियाँ हैं।

A: 33 · B: 30 · C: 32 · D: 31

अभ्यास 15#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 3 स्तंभ और 3 पंक्तियाँ हैं।

A: 37 · B: 35 · C: 36 · D: 38

अभ्यास 16#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 3 पंक्तियाँ हैं।

A: 170 · B: 169 · C: 168 · D: 167

अभ्यास 17#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 4 पंक्तियाँ हैं।

A: 281 · B: 282 · C: 280 · D: 279

अभ्यास 18#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्गों को छोड़कर आयत बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। जाल में इकाई वर्गों के 7 स्तंभ और 6 पंक्तियाँ हैं।

A: 475 · B: 478 · C: 477 · D: 476

अभ्यास 19#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। पूर्ण त्रिभुजीय जाल की हर बाहरी भुजा के 2 बराबर भाग हैं। ऊपर और नीचे मुख वाले त्रिभुज दोनों गिनें।

A: 5 · B: 7 · C: 6 · D: 4

अभ्यास 20#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। पूर्ण त्रिभुजीय जाल की हर बाहरी भुजा के 3 बराबर भाग हैं। ऊपर और नीचे मुख वाले त्रिभुज दोनों गिनें।

A: 12 · B: 13 · C: 14 · D: 15

अभ्यास 21#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। पूर्ण त्रिभुजीय जाल की हर बाहरी भुजा के 4 बराबर भाग हैं। ऊपर और नीचे मुख वाले त्रिभुज दोनों गिनें।

A: 28 · B: 29 · C: 27 · D: 26

अभ्यास 22#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। पूर्ण त्रिभुजीय जाल की हर बाहरी भुजा के 5 बराबर भाग हैं। ऊपर और नीचे मुख वाले त्रिभुज दोनों गिनें।

A: 47 · B: 49 · C: 50 · D: 48

अभ्यास 23#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। पूर्ण त्रिभुजीय जाल की हर बाहरी भुजा के 6 बराबर भाग हैं। ऊपर और नीचे मुख वाले त्रिभुज दोनों गिनें।

A: 78 · B: 77 · C: 80 · D: 79

अभ्यास 24#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 1 × 1 इकाई जाल में पूरे बाहरी वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे हैं। विकर्णों से बने चित्र भी शामिल करें।

A: 9 · B: 8 · C: 7 · D: 10

अभ्यास 25#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 2 × 2 इकाई जाल में पूरे बाहरी वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे हैं। विकर्णों से बने चित्र भी शामिल करें।

A: 15 · B: 18 · C: 16 · D: 17

अभ्यास 26#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने त्रिभुज बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 3 × 3 इकाई जाल में पूरे बाहरी वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे हैं। विकर्णों से बने चित्र भी शामिल करें।

A: 34 · B: 31 · C: 33 · D: 32

अभ्यास 27#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 2 × 2 इकाई जाल में पूरे बाहरी वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे हैं। विकर्णों से बने चित्र भी शामिल करें।

A: 5 · B: 6 · C: 7 · D: 4

अभ्यास 28#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। 3 × 3 इकाई जाल में पूरे बाहरी वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे हैं। विकर्णों से बने चित्र भी शामिल करें।

A: 38 · B: 36 · C: 37 · D: 35

अभ्यास 29#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने वर्ग बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। यह मूलतः 3 × 2 इकाई जाल था, लेकिन कुछ भीतरी रेखाखंड हटा दिए गए हैं। केवल दिखाई देने वाली रेखाएँ उपयोग करें।

A: 8 · B: 7 · C: 6 · D: 5

अभ्यास 30#

खींची गई रेखाओं से कुल कितने आयत (वर्ग सहित) बनते हैं? सभी आकार और दिशाएँ गिनें। यह मूलतः 4 × 3 इकाई जाल था, लेकिन कुछ भीतरी रेखाखंड हटा दिए गए हैं। केवल दिखाई देने वाली रेखाएँ उपयोग करें।

A: 36 · B: 33 · C: 35 · D: 34

16. उत्तर एवं व्याख्या#

उत्तर 01#

A — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 3 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(3,2) = 3 त्रिभुज हैं। कुल = 1 × 3 = 3। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 02#

A — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 7 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(7,2) = 21 त्रिभुज हैं। कुल = 1 × 21 = 21। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 03#

B — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 3 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(3,2) = 3 त्रिभुज हैं। कुल = 2 × 3 = 6। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 04#

B — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 7 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(7,2) = 21 त्रिभुज हैं। कुल = 2 × 21 = 42। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 05#

C — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 7 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(7,2) = 21 त्रिभुज हैं। कुल = 3 × 21 = 63। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 06#

D — हर त्रिभुज में साझा शीर्ष, 7 किरणों में से दो किरणें और एक क्षैतिज स्तर आता है। हर स्तर पर C(7,2) = 21 त्रिभुज हैं। कुल = 4 × 21 = 84। समानांतर स्तर साझा शीर्ष के बिना अलग त्रिभुज नहीं बनाते।

उत्तर 07#

A — भुजा k = 1 से 2 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 4 + 1 = 5। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 08#

D — भुजा k = 1 से 2 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 10 + 4 = 14। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 09#

C — भुजा k = 1 से 3 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 9 + 4 + 1 = 14। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 10#

C — भुजा k = 1 से 3 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 21 + 12 + 5 = 38। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 11#

C — भुजा k = 1 से 4 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 28 + 18 + 10 + 4 = 60। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 12#

D — भुजा k = 1 से 6 तक संख्या (स्तंभ−k+1)(पंक्ति−k+1) है। आकारवार संख्या: 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 = 112। तिरछी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए तिरछे वर्ग की पूरी सीमा नहीं बनती।

उत्तर 13#

A — 3 खड़ी रेखाओं में से दो और 3 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(3,2) × C(3,2) = 9। वर्ग भी आयत हैं और शामिल हैं, इसलिए उत्तर 9 है।

उत्तर 14#

D — 6 खड़ी रेखाओं में से दो और 3 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(6,2) × C(3,2) = 45। जाल में 14 वर्ग भी हैं। उन्हें घटाने पर 45 − 14 = 31 मिलता है।

उत्तर 15#

C — 4 खड़ी रेखाओं में से दो और 4 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(4,2) × C(4,2) = 36। वर्ग भी आयत हैं और शामिल हैं, इसलिए उत्तर 36 है।

उत्तर 16#

C — 8 खड़ी रेखाओं में से दो और 4 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(8,2) × C(4,2) = 168। वर्ग भी आयत हैं और शामिल हैं, इसलिए उत्तर 168 है।

उत्तर 17#

C — 8 खड़ी रेखाओं में से दो और 5 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(8,2) × C(5,2) = 280। वर्ग भी आयत हैं और शामिल हैं, इसलिए उत्तर 280 है।

उत्तर 18#

D — 8 खड़ी रेखाओं में से दो और 7 आड़ी रेखाओं में से दो चुनें: C(8,2) × C(7,2) = 588। जाल में 112 वर्ग भी हैं। उन्हें घटाने पर 588 − 112 = 476 मिलता है।

उत्तर 19#

A — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 4, 2: 1। इन संख्याओं का योग 5 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 20#

B — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 9, 2: 3, 9/2: 1। इन संख्याओं का योग 13 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 21#

C — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 16, 2: 7, 9/2: 3, 8: 1। इन संख्याओं का योग 27 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 22#

D — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 25, 2: 13, 9/2: 6, 8: 3, 25/2: 1। इन संख्याओं का योग 48 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 23#

A — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 36, 2: 21, 9/2: 11, 8: 6, 25/2: 3, 18: 1। इन संख्याओं का योग 78 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 24#

B — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/4: 4, 1/2: 4। इन संख्याओं का योग 8 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 25#

C — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/2: 8, 1: 4, 2: 4। इन संख्याओं का योग 16 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 26#

D — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1/4: 4, 1/2: 12, 2: 8, 9/4: 4, 9/2: 4। इन संख्याओं का योग 32 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 27#

A — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1: 4, 4: 1। इन संख्याओं का योग 5 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 28#

B — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1: 9, 2: 12, 3: 6, 4: 4, 6: 4, 9: 1। इन संख्याओं का योग 36 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 29#

C — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1: 4, 4: 2। इन संख्याओं का योग 6 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

उत्तर 30#

D — बड़े संयुक्त चित्रों सहित पूरी सीमाएँ जाँचें। चित्र के इकाई निर्देशांकों में क्षेत्रफल के अनुसार समूह बनाने पर क्षेत्रफल: संख्या = 1: 8, 2: 9, 3: 4, 4: 7, 6: 3, 8: 2, 12: 1। इन संख्याओं का योग 34 है। प्रतिच्छेद बिंदु शीर्ष हो सकते हैं; गायब रेखा कल्पना से नहीं जोड़ें। हर सीमा केवल एक बार गिनें।

यह जानकारी कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) द्वारा तैयार की गई है।