दिशा ज्ञान एवं दूरी

1. अध्ययन योजना और मान्यताएँ#

दिशा प्रश्नों में व्यक्ति या स्थान की स्थिति, व्यक्ति के मुख की दिशा अथवा दो बिंदुओं की दूरी पूछी जाती है। अंतिम स्थिति, मुख की दिशा और दूरी तीन अलग उत्तर हैं। अन्यथा न कहा हो तो समतल नक्शे में उत्तर ऊपर रखें। सभी दूरियाँ एक इकाई में हों। केवल मुड़ने से मुख की दिशा बदलती है, स्थान नहीं। चलने से स्थान बदलता है। देखें कि मोड़ के बाद चलना है या नहीं और प्रश्न प्रारंभिक स्थान के सापेक्ष है या किसी दूसरे व्यक्ति के।

2. आठ दिशाएँ और विपरीत दिशाएँ#

दक्षिणावर्त क्रम उत्तर (N), उत्तर-पूर्व (NE), पूर्व (E), दक्षिण-पूर्व (SE), दक्षिण (S), दक्षिण-पश्चिम (SW), पश्चिम (W), उत्तर-पश्चिम (NW) है। आठ-दिशा चक्र में पास-पास की दिशाओं में 45° का अंतर है। विपरीत जोड़े N/S, E/W, NE/SW और NW/SE हैं। उत्तर की ओर मुख होना और प्रारंभ से उत्तर में होना अलग बातें हैं। व्यक्ति प्रारंभ से पूर्व में होकर दक्षिण की ओर मुख कर सकता है। सामान्य स्थिति प्रश्न में पूर्व और उत्तर दोनों घटक धनात्मक हों तो क्षेत्र उत्तर-पूर्व है; सटीक 45° दिशा तभी है जब दोनों घटक बराबर हों।

3. बायाँ और दायाँ व्यक्ति के मुख पर निर्भर#

90° मोड़ के लिए नियम: उत्तर की ओर मुख हो तो दायाँ पूर्व, बायाँ पश्चिम। पूर्व की ओर मुख हो तो दायाँ दक्षिण, बायाँ उत्तर। दक्षिण की ओर मुख हो तो दायाँ पश्चिम, बायाँ पूर्व। पश्चिम की ओर मुख हो तो दायाँ उत्तर, बायाँ दक्षिण। ऊपर से देखे दिशा चक्र में दायाँ मोड़ दक्षिणावर्त और बायाँ वामावर्त है। पीछे मुड़ना 180° से दिशा उलटता है। उदाहरण: पश्चिम की ओर मुख करके दायाँ, दायाँ, बायाँ मुड़ें: W→N→E→N, अर्थात अंतिम मुख उत्तर। कागज की दाईं ओर को चलते व्यक्ति का दायाँ न मानें।

मुख	दायाँ 90°	बायाँ 90°
उत्तर	पूर्व	पश्चिम
पूर्व	दक्षिण	उत्तर
दक्षिण	पश्चिम	पूर्व
पश्चिम	उत्तर	दक्षिण

4. निर्देशांक विधि: सामान्य प्रश्नों का विश्वसनीय हल#

प्रारंभ O=(0,0) रखें। पूर्व जाने पर x जोड़ें; पश्चिम पर x घटाएँ। उत्तर जाने पर y जोड़ें; दक्षिण पर y घटाएँ। हर चरण का अंतिम बिंदु लिखें और मोड़ दिए हों तो मुख की दिशा अलग स्तंभ में रखें। उदाहरण: 8 मीटर पूर्व, 6 मीटर उत्तर और 3 मीटर पश्चिम। क्रमशः (8,0), (8,6), (5,6)। अंतिम स्थिति O से उत्तर-पूर्व में, शुद्ध 5 मीटर पूर्व और 6 मीटर उत्तर है। अंतिम चलना पश्चिम की ओर है, इसलिए अतिरिक्त मोड़ न हो तो अंतिम मुख पश्चिम है। विपरीत चालें अलग-अलग चरणों में होने पर भी अपने घटक में कट जाती हैं।

5. चली दूरी, विस्थापन और सड़क की दूरी#

कुल चली दूरी सभी चरणों का योग है। प्रारंभ से सीधी दूरी √(x²+y²) है। बिना बाधा वाले केवल पूर्व-पश्चिम/उत्तर-दक्षिण सड़क जाल पर न्यूनतम रास्ता |x|+|y| है। बाधा या विशेष सड़क दी हो तो यह सूत्र बिना जाँचे न लगाएँ। उदाहरण: 8 मीटर पूर्व, 6 मीटर उत्तर, 3 मीटर पश्चिम में चली दूरी 17 मीटर, सीधी दूरी √61 मीटर और न्यूनतम जाली रास्ता 11 मीटर। 3 मीटर पूर्व और 4 मीटर उत्तर की चाल में रास्ता 7 मीटर लेकिन विस्थापन 5 मीटर है। उपयोगी त्रिक 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 तथा 7–24–25 हैं; इनके समान गुणक भी काम आते हैं।

6. मोड़ सहित पूरा हल किया उदाहरण#

व्यक्ति उत्तर की ओर मुख करके 10 मीटर चलता है; दायाँ मुड़कर 8, दायाँ मुड़कर 4, फिर बायाँ मुड़कर 2 मीटर चलता है। (स्थान; मुख) क्रम: (0,10; N), (8,10; E), (8,6; S), (10,6; E)। इसलिए अंतिम मुख पूर्व; अंतिम क्षेत्र उत्तर-पूर्व; चली दूरी 10+8+4+2=24 मीटर; न्यूनतम सीधी दूरी √(10²+6²)=√136=2√34 मीटर। सीधे वापस जाने का सदिश (−10,−6), अर्थात दक्षिण-पश्चिम क्षेत्र है। उसी रास्ते से वापसी 24 मीटर होगी, 2√34 नहीं। सीधी वापसी में बाधा न होने की शर्त चाहिए।

7. सापेक्ष स्थिति और दो यात्री#

A के सापेक्ष B के लिए B−A निकालें, A−B नहीं। A=(−3,4), B=(5,−2) हों तो B−A=(8,−6): B, A से दक्षिण-पूर्व में और 10 इकाई दूर है। A, B से उत्तर-पश्चिम में है। उदाहरण: एक ही प्रारंभ से P 6 मीटर पूर्व और 8 उत्तर जाता है; Q 6 पश्चिम और 8 उत्तर। दोनों के y बराबर और x में 12 का अंतर है, इसलिए दूरी 12 मीटर। मूल बिंदु से उनकी दूरियाँ तभी जोड़ें जब अंतिम बिंदु एक सीधी रेखा की विपरीत किरणों पर हों।

8. विकर्ण चाल और घूर्णन#

ठीक उत्तर-पूर्व में d दूरी के घटक (d/√2,d/√2) हैं; दोनों अक्षों पर d नहीं जुड़ता। इसलिए 10√2 मीटर ठीक उत्तर-पूर्व का अर्थ 10 मीटर पूर्व और 10 मीटर उत्तर है। केवल उत्तर-पूर्व क्षेत्र बताया हो, दूरी या कोण नहीं, तो सटीक घटक अज्ञात हैं। घूर्णन में N=0°, E=90°, S=180°, W=270° लें; दक्षिणावर्त कोण जोड़ें और वामावर्त घटाएँ, फिर 360 से शेष लें। उदाहरण: SW (225°) से 135° दक्षिणावर्त = 360°, अर्थात उत्तर। नक्शा घूमा हो तो कागज पर दिशाएँ बदलती हैं; अंकित उत्तर तीर को आधार रखें।

9. कूटबद्ध दिशाएँ और संबंध शृंखलाएँ#

हर चिह्न का दिया अर्थ ही लें। मानें A @ B का अर्थ A, B से 4 मीटर पूर्व; A # B का अर्थ A, B से 3 मीटर उत्तर। P @ Q और Q # R में R=(0,0), Q=(0,3), P=(4,3)। P, R से उत्तर-पूर्व क्षेत्र में 5 मीटर दूर है। पहला बिंदु दूसरे के सापेक्ष बताया गया है; क्रम उलटने पर विस्थापन उलटता है। दूसरे प्रश्न में उसी चिह्न का अर्थ अलग हो सकता है। स्थिति संबंध को चलने का निर्देश तभी मानें जब परिभाषा ऐसा कहे।

10. परछाईं: सूर्य की बताई दिशा का प्रयोग#

सरल क्षैतिज तर्क मॉडल में परछाईं सूर्य के विपरीत जाती है। सूर्य ठीक पूर्व बताया हो तो परछाईं पश्चिम; सूर्य ठीक पश्चिम हो तो परछाईं पूर्व। उदाहरण: सूर्य पूर्व में और परछाईं व्यक्ति के दाएँ हो तो उसका दायाँ पश्चिम है, अर्थात मुख दक्षिण। परछाईं बाएँ हो तो मुख उत्तर। वास्तविक सूर्योदय की दिशा स्थान और ऋतु पर निर्भर है; केवल “सुबह” सटीक खगोलीय दिशा नहीं बताता। पूर्व/पश्चिम का सरलीकरण तभी लें जब प्रश्न उसे स्थापित करे। केवल दोपहर कहने से हर जगह परछाईं की एक दिशा या शून्य लंबाई निश्चित नहीं होती।

11. सूचना पर्याप्तता, शून्य विस्थापन और अज्ञात चाल#

जाँचें कि माँगा उत्तर अद्वितीय है या नहीं। कथन I: P, O के पूर्व में है। कथन II: P, O से 5 मीटर दूर है। केवल I से दिशा निश्चित, दूरी नहीं; केवल II से दूरी निश्चित, दिशा नहीं; दोनों से P=(5,0)। यात्रा प्रारंभ पर समाप्त हो तो विस्थापन शून्य और प्रारंभ से अंत की कोई दिशा नहीं है; मुख की दिशा फिर भी ज्ञात हो सकती है। अज्ञात चाल के लिए अंतिम x और y को आवश्यक मान के बराबर करें। उदाहरण: 7 मीटर पूर्व, 5 उत्तर, x पश्चिम और 5 दक्षिण से प्रारंभ पर तभी लौटेंगे जब x=7। चित्र संबंध दिखाता है; पैमाना स्पष्ट न हो तो चित्र की लंबाई से उत्तर न निकालें।

12. पुनरावृत्ति सारणी और हल करने का क्रम#

पाँच चरण अपनाएँ: (1) उत्तर और मूल बिंदु बनाएँ; (2) चाल तथा मोड़ समझें; (3) निर्देशांक और मुख अलग-अलग बदलें; (4) ठीक वही उत्तर दें जो पूछा है; (5) मूल सूचना से जाँचें। पूर्व/पश्चिम x और उत्तर/दक्षिण y बदलते हैं। A से B की स्थिति (xB−xA,yB−yA)। सीधी दूरी √(Δx²+Δy²)। यात्रा दूरी सभी चरणों का योग। विपरीत दिशा 180° उलटती है। मूल बिंदु पर “उसी स्थान पर” कहें, उत्तर या दक्षिण नहीं। सटीक विकर्ण दिशा न दी हो तो उत्तर-पूर्व के दोनों घटक बराबर न मानें।

अभ्यास: 30 प्रश्न#

पहले अपना चित्र बनाएँ, फिर एक सही विकल्प चुनें।

अभ्यास 01#

उत्तर की ओर मुख से दायाँ मुड़ने पर कौन-सी दिशा है?

• A. पूर्व
• B. दक्षिण
• C. पश्चिम
• D. उत्तर

अभ्यास 02#

दक्षिण से बायाँ मुड़ने पर कौन-सी दिशा है?

• A. उत्तर
• B. पूर्व
• C. दक्षिण
• D. पश्चिम

अभ्यास 03#

बिंदु (5, −3), मूल (0,0) के किस क्षेत्र में है?

• A. दक्षिण-पूर्व
• B. दक्षिण-पश्चिम
• C. उत्तर-पश्चिम
• D. उत्तर-पूर्व

अभ्यास 04#

बिना चले एक ही स्थान पर मुड़ने से क्या बदलता है?

• A. स्थान और यात्रा दूरी दोनों
• B. न मुख न स्थान
• C. केवल मुख की दिशा
• D. केवल स्थान

अभ्यास 05#

यात्री प्रारंभिक बिंदु पर लौटता है। विस्थापन का परिमाण क्या है?

• A. 1
• B. कुल रास्ते की दूरी
• C. हमेशा अज्ञात
• D. 0

अभ्यास 06#

शुद्ध 3 मीटर पूर्व और 4 मीटर उत्तर होने पर सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 5
• B. 7
• C. 1
• D. 12

अभ्यास 07#

उत्तर की ओर मुख से 90° दक्षिणावर्त, फिर 90° दक्षिणावर्त, फिर 90° वामावर्त मुड़ें। अंतिम मुख किस दिशा में है?

• A. पश्चिम
• B. उत्तर
• C. पूर्व
• D. दक्षिण

अभ्यास 08#

दक्षिण की ओर मुख से 90° दक्षिणावर्त, फिर 90° वामावर्त, फिर 90° वामावर्त मुड़ें। अंतिम मुख किस दिशा में है?

• A. पूर्व
• B. दक्षिण
• C. पश्चिम
• D. उत्तर

अभ्यास 09#

दक्षिण-पूर्व की ओर मुख से 45° वामावर्त, फिर 90° वामावर्त मुड़ें। अंतिम मुख किस दिशा में है?

• A. पूर्व
• B. दक्षिण
• C. पश्चिम
• D. उत्तर

अभ्यास 10#

पूर्व की ओर मुख से 180° वामावर्त, फिर 90° दक्षिणावर्त मुड़ें। अंतिम मुख किस दिशा में है?

• A. पूर्व
• B. दक्षिण
• C. पश्चिम
• D. उत्तर

अभ्यास 11#

5 मीटर पूर्व, 4 उत्तर और 2 पश्चिम चलें। प्रारंभ से सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 5
• B. 6
• C. 4
• D. 7

अभ्यास 12#

12 मीटर पूर्व, 8 उत्तर और 6 पश्चिम चलें। प्रारंभ से सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 10
• B. 11
• C. 9
• D. 12

अभ्यास 13#

31 मीटर पूर्व, 21 उत्तर और 11 पश्चिम चलें। प्रारंभ से सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 31
• B. 29
• C. 30
• D. 28

अभ्यास 14#

9 मीटर उत्तर, 5 पूर्व और 3 दक्षिण चलें। कुल चली दूरी कितने मीटर है?

• A. 16
• B. 19
• C. 17
• D. 18

अभ्यास 15#

14 मीटर उत्तर, 10 पूर्व और 8 दक्षिण चलें। कुल चली दूरी कितने मीटर है?

• A. 33
• B. 31
• C. 34
• D. 32

अभ्यास 16#

18 मीटर उत्तर, 14 पूर्व और 12 दक्षिण चलें। कुल चली दूरी कितने मीटर है?

• A. 45
• B. 43
• C. 46
• D. 44

अभ्यास 17#

मीटर जाली पर A=(-4,3) और B=(2,11) हैं। दोनों की दूरी कितने मीटर है?

• A. 10
• B. 11
• C. 9
• D. 12

अभ्यास 18#

मीटर जाली पर A=(0,-1) और B=(5,11) हैं। दोनों की दूरी कितने मीटर है?

• A. 13
• B. 14
• C. 12
• D. 15

अभ्यास 19#

मीटर जाली पर A=(5,-6) और B=(-3,-21) हैं। दोनों की दूरी कितने मीटर है?

• A. 19
• B. 17
• C. 18
• D. 16

अभ्यास 20#

O से P 4 मीटर पूर्व और 6 उत्तर; Q 7 पश्चिम और 6 उत्तर जाता है। PQ कितने मीटर है?

• A. 10
• B. 13
• C. 11
• D. 12

अभ्यास 21#

O से P 9 मीटर पूर्व और 11 उत्तर; Q 12 पश्चिम और 11 उत्तर जाता है। PQ कितने मीटर है?

• A. 22
• B. 20
• C. 23
• D. 21

अभ्यास 22#

O से P 13 मीटर पूर्व और 15 उत्तर; Q 16 पश्चिम और 15 उत्तर जाता है। PQ कितने मीटर है?

• A. 30
• B. 28
• C. 31
• D. 29

अभ्यास 23#

ठीक 45° उत्तर-पूर्व में 3√2 मीटर, फिर 12 मीटर पूर्व और 3 दक्षिण चलें। प्रारंभ से सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 15
• B. 16
• C. 14
• D. 17

अभ्यास 24#

ठीक 45° उत्तर-पूर्व में 7√2 मीटर, फिर 28 मीटर पूर्व और 7 दक्षिण चलें। प्रारंभ से सीधी दूरी कितने मीटर है?

• A. 35
• B. 36
• C. 34
• D. 37

अभ्यास 25#

X @ Y का अर्थ X, Y से 3 मीटर पूर्व; X # Y का अर्थ X, Y से 4 मीटर उत्तर है। P @ Q और Q # R हों तो PR कितने मीटर है?

• A. 7
• B. 5
• C. 6
• D. 4

अभ्यास 26#

X @ Y का अर्थ X, Y से 9 मीटर पूर्व; X # Y का अर्थ X, Y से 12 मीटर उत्तर है। P @ Q और Q # R हों तो PR कितने मीटर है?

• A. 17
• B. 15
• C. 16
• D. 14

अभ्यास 27#

सूर्य ठीक पूर्व में बताया है। सरल छाया मॉडल में परछाईं व्यक्ति के दाएँ है। मुख किस ओर है?

• A. उत्तर
• B. पूर्व
• C. दक्षिण
• D. पश्चिम

अभ्यास 28#

P, O से पूर्व में कहीं है, दूरी नहीं दी। क्या OP निश्चित निकाल सकते हैं?

• A. हाँ: 5 मीटर
• B. हाँ: 0 मीटर
• C. नहीं
• D. हाँ: 1 मीटर

अभ्यास 29#

O से P की सटीक स्थिति के लिए: I. P ठीक पूर्व में है। II. OP=5 मीटर है। कौन-सी सूचना पर्याप्त है?

• A. केवल I
• B. केवल II
• C. दोनों भी अपर्याप्त
• D. दोनों साथ, अकेला कोई नहीं

अभ्यास 30#

व्यक्ति 4 मीटर उत्तर, 3 पूर्व, 4 दक्षिण और 3 पश्चिम चलता है। प्रारंभ से अंतिम स्थान की दिशा क्या है?

• A. वही बिंदु; विस्थापन की दिशा नहीं
• B. उत्तर
• C. दक्षिण
• D. पश्चिम

उत्तर और व्याख्या#

उत्तर 01#

A. पूर्व

90° दक्षिणावर्त मोड़ उत्तर से पूर्व है।

उत्तर 02#

B. पूर्व

दक्षिण की ओर मुख में बायाँ हाथ पूर्व की ओर है।

उत्तर 03#

A. दक्षिण-पूर्व

धनात्मक x पूर्व और ऋणात्मक y दक्षिण: दक्षिण-पूर्व।

उत्तर 04#

C. केवल मुख की दिशा

मुड़ने से मुख बदलता है, निर्देशांक समान रहते हैं।

उत्तर 05#

D. 0

प्रारंभ और अंत के निर्देशांक समान हैं।

उत्तर 06#

A. 5

√(3²+4²)=5; दो चरणों के रास्ते की लंबाई 7 है।

उत्तर 07#

C. पूर्व

प्रारंभिक कोण 0°; कुल मोड़ 90°। 360 से शेष 90°: पूर्व।

उत्तर 08#

A. पूर्व

प्रारंभिक कोण 180°; कुल मोड़ -90°। 360 से शेष 90°: पूर्व।

उत्तर 09#

D. उत्तर

प्रारंभिक कोण 135°; कुल मोड़ -135°। 360 से शेष 0°: उत्तर।

उत्तर 10#

D. उत्तर

प्रारंभिक कोण 90°; कुल मोड़ -90°। 360 से शेष 0°: उत्तर।

उत्तर 11#

A. 5

शुद्ध पूर्व=5−2=3; उत्तर=4। दूरी=√(3²+4²)=5।

उत्तर 12#

A. 10

शुद्ध पूर्व=12−6=6; उत्तर=8। दूरी=√(6²+8²)=10।

उत्तर 13#

B. 29

शुद्ध पूर्व=31−11=20; उत्तर=21। दूरी=√(20²+21²)=29।

उत्तर 14#

C. 17

सभी चरण जोड़ें: 9+5+3=17; चली दूरी में विपरीत चालें नहीं काटते।

उत्तर 15#

D. 32

सभी चरण जोड़ें: 14+10+8=32; चली दूरी में विपरीत चालें नहीं काटते।

उत्तर 16#

D. 44

सभी चरण जोड़ें: 18+14+12=44; चली दूरी में विपरीत चालें नहीं काटते।

उत्तर 17#

A. 10

B−A=(6,8); दूरी=√((6)²+(8)²)=10।

उत्तर 18#

A. 13

B−A=(5,12); दूरी=√((5)²+(12)²)=13।

उत्तर 19#

B. 17

B−A=(-8,-15); दूरी=√((-8)²+(-15)²)=17।

उत्तर 20#

C. 11

P=(4,6), Q=(-7,6)। उत्तर घटक समान; दूरी=4+7=11।

उत्तर 21#

D. 21

P=(9,11), Q=(-12,11)। उत्तर घटक समान; दूरी=9+12=21।

उत्तर 22#

D. 29

P=(13,15), Q=(-16,15)। उत्तर घटक समान; दूरी=13+16=29।

उत्तर 23#

A. 15

विकर्ण के घटक (3,3); अंतिम बिंदु (15,0), इसलिए दूरी 15।

उत्तर 24#

A. 35

विकर्ण के घटक (7,7); अंतिम बिंदु (35,0), इसलिए दूरी 35।

उत्तर 25#

B. 5

R=(0,0), Q=(0,4), P=(3,4); PR=√(3²+4²)=5।

उत्तर 26#

B. 15

R=(0,0), Q=(0,12), P=(9,12); PR=√(9²+12²)=15।

उत्तर 27#

C. दक्षिण

परछाईं सूर्य के विपरीत है। उसे व्यक्ति के दाएँ से मिलाने पर मुख दक्षिण है।

उत्तर 28#

C. नहीं

दिशा से किरण निश्चित होती है, एक दूरी नहीं।

उत्तर 29#

D. दोनों साथ, अकेला कोई नहीं

I दिशा और II दूरी देता है; साथ में P=(5,0)।

उत्तर 30#

A. वही बिंदु; विस्थापन की दिशा नहीं

शुद्ध x तथा y दोनों शून्य। पश्चिम अंतिम चाल है, विस्थापन की दिशा नहीं।

आगे का अभ्यास#

चार स्तरों में 20-20 प्रश्न और संपूर्ण परीक्षा में 80 प्रश्न हैं। गलती होने पर जाँचें कि भ्रम मुख, स्थिति, दूरी या संदर्भ बिंदु में था। हर बार चित्र और निर्देशांक से उत्तर की पुष्टि करें।

यह जानकारी कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) द्वारा तैयार की गई है।