घन एवं पासा: विपरीत फलक, घुमाव, जाल और रंगे घन

1. घन की मूल संरचना#

घन में 6 वर्गाकार फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं। हर शीर्ष पर तीन फलक मिलते हैं। प्रत्येक फलक के चार आसन्न और एक विपरीत फलक होते हैं। विपरीत फलक न किनारा साझा करते हैं, न शीर्ष; आसन्न फलक एक किनारा साझा करते हैं।

पासा चिह्नित घन है। अंक, अक्षर, संकेत या रंग किसी भी क्रम में हो सकते हैं। स्पष्ट नियम के बिना अंक का मान उसकी जगह तय नहीं करता। एक किनारे पर मिलते दो दृश्य फलक आसन्न हैं; वे विपरीत नहीं हो सकते।

इस अध्याय में U=ऊपर, D=नीचे, F=सामने, B=पीछे, R=दायाँ और L=बायाँ है। लुढ़काने के प्रश्नों में दर्शक की दिशाएँ स्थिर हैं। बिना चिह्न के मानसिक चित्र के बजाय छह स्थानों की सारणी रखें।

2. विपरीत फलक: पहले आसन्नता देखें#

एक फलक के साथ चार अलग फलक आसन्न दिख जाएँ तो बचा छठा उसका विपरीत है। उदाहरण: 1 के साथ 2,3,4,5 आसन्न हैं। छह अलग अंक 1–6 हों तो 1 का विपरीत 6 होगा।

एक कोने के दृश्य में तीन परस्पर आसन्न फलक दिखते हैं। इससे अदृश्य तीन अंकों में कौन किसका विपरीत है, तय नहीं होता। अतिरिक्त जानकारी चाहिए। त्रिक का क्रम बदलने से दिशा बदल सकती है; केवल अंक नहीं, उनके स्थान भी लिखें।

“विपरीत अंकों का योग 7” अपने-आप न लगाएँ। प्रश्न स्पष्ट रूप से वह अंकन नियम दे तभी लगाएँ। यहाँ 1–6 के अंक किसी भी व्यवस्था में हो सकते हैं।

3. दृश्य मिलाएँ, प्रतिबिंब न बनाएँ#

MCQs में हर क्रमित दृश्य (ऊपर, सामने, दायाँ) है। दो समान फलक हों तो वास्तविक घुमाव से उनकी दिशा मिलाकर बाकी स्थान देखें। समान अंक मनचाही जगह रखने से प्रतिबिंबित व्यवस्था बन सकती है, जहाँ वास्तविक पासा केवल घुमाकर नहीं पहुँच सकता।

(1,2,3) और (1,5,4) दृश्यों से 1 के पड़ोसी 2,3,5,4 मिलते हैं; इसलिए 6 उसका विपरीत है। इसमें बाकी विपरीत जोड़ों का अनुमान जरूरी नहीं है।

केवल एक फलक समान हो तो उसके चारों ओर पड़ोसी फलकों का चक्रीय क्रम एक ही दिशा में पढ़ें। दक्षिणावर्त क्रम छोड़ने वाला शॉर्टकट पासा उलट सकता है। जानकारी से एक से अधिक विपरीत अंक संभव हों तो जानकारी अपर्याप्त है; नई व्यवस्था न गढ़ें।

4. पासे की 24 वास्तविक अभिविन्यास स्थितियाँ#

ऊपर का फलक 6 तरीकों से चुनें। उसके बाद उसके चार पड़ोसियों में सामने का फलक चुनें। कुल 6 × 4 = 24 स्थितियाँ होती हैं। एक निश्चित चिह्नित पासे में ऊपर और सामने तय होने पर दायाँ तय है।

इन स्थितियों में विपरीत जोड़े और चक्रीय क्रम सुरक्षित रहते हैं। दर्पण प्रतिबिंब आसन्नता रखते हुए दिशा-क्रम उलट सकता है; वह अतिरिक्त घुमाव नहीं है। छह चिह्न कई शुरुआती तरीकों से लगाए जा सकते हैं, लेकिन एक निश्चित पासे की वास्तविक घुमाव-स्थितियाँ 24 ही हैं।

5. लुढ़काना: पुराने फलक कहाँ जाते हैं?#

एक लुढ़काव 90° का चौथाई घुमाव है। यहाँ दाएँ लुढ़काने का अर्थ पुराना ऊपर वाला फलक दाएँ जाता है। सारणी पुराने स्थानों का चक्र बताती है; चक्र के बाहर के स्थान नहीं बदलते।

दिशा	पुराने स्थानों का चक्र
सामने	U → F → D → B → U
पीछे	U → B → D → F → U
दाएँ	U → R → D → L → U
बाएँ	U → L → D → R → U

आरंभ: U=1, D=6, F=2, B=5, R=3, L=4। दाएँ लुढ़काने पर U=4, D=3, F=2, B=5, R=1, L=6। फिर सामने लुढ़काने पर U=5, D=2, F=4, B=3, R=1, L=6। अंतिम ऊपर का अंक 5 है।

6. कई घुमाव और जाँच#

एक दिशा में चार लुढ़काव मूल स्थिति लौटाते हैं। दाएँ के बाद बाएँ भी मूल स्थिति लौटाता है; सामने और पीछे उलटे संचालन हैं। एक दिशा में दो लुढ़काव ऊपर-नीचे और संबंधित पार्श्व जोड़े बदलते हैं।

क्रम महत्वपूर्ण है: दाएँ फिर सामने, सामने फिर दाएँ के बराबर सामान्यतः नहीं है। पिछले उदाहरण में दाएँ फिर सामने करने पर ऊपर 5, जबकि सामने फिर दाएँ करने पर ऊपर 4 आता है। इन्हें साधारण जोड़ की तरह न मिलाएँ।

हर चरण के बाद छह अंक एक-एक बार और पुराने विपरीत जोड़े विपरीत ही रहने चाहिए। जोड़ा बदल जाए तो स्थान अद्यतन गलत है। नई सारणी में सभी बदलाव साथ करें; उसी चरण में बाद में चाहिए मान को पहले न मिटाएँ।

7. घन का जाल क्या है?#

छह वर्गों की पूरी भुजाओं से जुड़ी ऐसी व्यवस्था, जो बिना फलक चढ़े घन बनाए, जाल है। छह जुड़े वर्ग होना अकेले पर्याप्त नहीं है। 2×3 आयत बिना अतिव्यापन या विरोधी मोड़ के घन नहीं बनाता।

केवल कोने पर छूते वर्ग पूरी भुजा का जोड़ नहीं देते। मोड़ने के बाद छह वर्गों को छह अलग फलक-दिशाएँ मिलनी चाहिए: ऊपर, नीचे, सामने, पीछे, बाएँ, दाएँ।

कागज पर घुमाए और प्रतिबिंबित रूपों को एक प्रकार मानें तो घन के 11 अलग जाल हैं। नीचे हर चित्र के अक्षर उसी चित्र के हैं; एक जाल का अक्षर-स्थान दूसरे जाल पर न लगाएँ।

8. जाल को क्रम से मोड़ें#

एक वर्ग आधार चुनें। उसके भुजा-पड़ोसी को 90° मोड़ें और बाकी वर्गों तक क्रम से जाएँ। अक्षर अपने वर्ग से जुड़ा रहे। तैयार घन में विपरीत वर्ग कागज पर सबसे दूर हों, यह जरूरी नहीं है।

उदाहरण; खाली जगह पर वर्ग नहीं है:

    A
B   C   D
    E
    F

C को सामने का फलक मानें। A और E विपरीत ओर, B और D विपरीत ओर तथा F, C के विपरीत जाता है। जोड़े A–E, B–D, C–F हैं। A–C–E–F की सीधी चार-वर्ग पट्टी चार ओर लिपटती है, इसलिए इस पट्टी में दो स्थान के अंतर वाले फलक विपरीत हैं। इसे किसी भी टेढ़े आकार पर न लगाएँ।

9. निर्देशांक वाले जाल प्रश्न#

प्रश्न में वर्ग (पंक्ति, स्तंभ) से दिए हैं। पंक्ति नीचे और स्तंभ दाएँ बढ़ता है; दोनों 1 से शुरू हैं। A:(1,2), B:(2,1), C:(2,2), D:(2,3), E:(3,2), F:(4,2) ऊपर वाला जाल बनाते हैं।

छोटी जाली बनाकर छह अक्षर रखें और साझा पूरी भुजाएँ पहचानें। केवल एक दिशा में एक स्थान का अंतर भुजा-पड़ोसी बनाता है; तिरछा अंतर नहीं। कागज की ऊपर-नीचे दिशा चित्र का निर्देशांक है, तैयार घन का स्थिर ऊपर-नीचे नहीं।

फलक पर अक्षर या तीर की अंतिम मुद्रित दिशा और विपरीत फलक की पहचान अलग कार्य हैं। इन प्रश्नों में फलक का चिह्न पूछा है; बिना माँगे मुद्रित चिह्न के घुमाव की अतिरिक्त शर्त न जोड़ें।

10. छह फलक रंगे हों: चार वर्ग#

बड़े घन को काटने से पहले रंगें। हर किनारे के n समान भाग करने पर n³ छोटे घन बनते हैं। n ≥ 2 के लिए मूल बाहरी फलक गिनें:

ठीक इतने रंगे फलक	स्थान	संख्या
3	कोने	8
2	कोने छोड़कर किनारे	12(n−2)
1	किनारे छोड़कर फलक का भीतर	6(n−2)²
0	पूरी तरह अंदर	(n−2)³

2 क्यों घटाएँ? हर किनारे के दोनों सिरों पर कोने वाले घन हैं। फलक का भीतर (n−2)×(n−2) जाली और अंदर का भाग (n−2)×(n−2)×(n−2) होता है।

चारों का योग n³ होना चाहिए। “कम-से-कम एक रंगा फलक” = n³−(n−2)³। “कम-से-कम दो” = 12(n−2)+8। ठीक दो की संख्या में कोने फिर न जोड़ें।

11. रंगे घन के उदाहरण और अपवाद#

n=3 में कुल 27; तीन रंगे 8, दो रंगे 12, एक रंगा 6 और बिना रंग 1। जाँच: 8+12+6+1=27।

n=5 में कुल 125; तीन रंगे 8, दो रंगे 36, एक रंगा 54 और बिना रंग 27। योग 125 है। कम-से-कम एक रंगा फलक = 125−27=98।

n=2 में सभी 8 छोटे घन कोने वाले हैं और उनके 3 फलक रंगे हैं; बाकी वर्ग शून्य हैं। n=1 में विभाजन नहीं हुआ: अकेले घन के 6 फलक रंगे हैं। n≥2 वाले सूत्र इस स्थिति में न लगाएँ। नए कटे तल बिना रंग हैं, जब तक दोबारा रंगने को न कहा हो।

12. आंशिक रंगाई में बताए फलक ही लें#

कम फलक रंगे हों तो छह-फलक वाले सूत्र नहीं लगेंगे। n≥2 पर:

• एक फलक रंगा: n² घनों का ठीक एक फलक रंगा है।
• दो विपरीत फलक रंगे: 2n² घनों का ठीक एक; किसी का दो नहीं।
• दो आसन्न फलक रंगे: साझा किनारे पर n घनों का ठीक दो। ठीक एक = 2n²−2n; कम-से-कम एक = 2n²−n।
• एक कोने पर मिलने वाले तीन फलक रंगे: ठीक तीन = 1; ठीक दो = 3(n−1); ठीक एक = 3(n−1)²; बिना रंग = (n−1)³।

दो आसन्न रंगे फलकों में n=4 हो तो ठीक दो 4, ठीक एक 24 और कम-से-कम एक 28 हैं। फलक की संख्याएँ बिना साझा भाग घटाए न जोड़ें।

13. रंगा घनाभ और कटों की संख्या#

a×b×c इकाई घनों वाले घनाभ के सभी छह फलक रंगे हों और a,b,c≥2 तो:

• तीन रंगे फलक: 8।
• ठीक दो: 4[(a−2)+(b−2)+(c−2)]।
• ठीक एक: 2[(a−2)(b−2)+(b−2)(c−2)+(c−2)(a−2)]।
• बिना रंग: (a−2)(b−2)(c−2)।

3×4×5 में क्रमशः 8,24,22,6 मिलते हैं; योग 60 है। कोई माप 1 हो तो सामान्य कोना/किनारा वर्ग बदलता है; सूत्र अंधाधुंध न लगाएँ।

हर किनारे के n भाग के लिए तीन दिशाओं में n−1 समानांतर काटने वाले तल चाहिए। बिना टुकड़े पुनर्व्यवस्थित किए एक बार में एक तल से पूरे ठोस को काटने पर कुल 3(n−1) कट हैं। टुकड़े जमाकर या पुनर्व्यवस्थित करके काटने की अनुमति हो तो अलग विश्लेषण चाहिए।

14. अंतिम पुनरावृत्ति#

ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम स्थिर रखें। चार ज्ञात पड़ोसियों से विपरीत खोजें। योग 7 बिना निर्देश न मानें। वास्तविक घुमाव में विपरीत जोड़े सुरक्षित हैं। हर लुढ़काव का अद्यतन एक साथ करें। निर्देशांक से जाल बनाकर मोड़ें और एक दिशा पर चढ़ते फलक अस्वीकार करें। रंगाई में कौन-से फलक, काटने से पहले या बाद, कितने भाग और ठीक/कम-से-कम का अंतर पहचानें।

प्रश्न-संग्रह में पासे के दृश्यों को वास्तविक घुमावों से, जाल को मोड़कर और रंगे छोटे घनों को स्थान के आधार पर जाँचा गया है। अलग-अलग शॉर्टकट रटने के बजाय यही ज्यामितीय विचार अपने हल में अपनाएँ।

अभ्यास: 30 प्रश्न#

अभ्यास 01#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (6, 5, 2); (5, 2, 6); (1, 4, 5)। 4 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 6
• B. 1
• C. 5
• D. 2

अभ्यास 02#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (1, 2, 3); (5, 6, 1)। 1 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 3
• B. 6
• C. 5
• D. 4

अभ्यास 03#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (6, 1, 2); (5, 2, 4)। 6 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 5
• B. 6
• C. 4
• D. 3

अभ्यास 04#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (1, 4, 3); (3, 2, 6)। 4 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 2
• B. 6
• C. 4
• D. 5

अभ्यास 05#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (1, 4, 6); (5, 4, 2)। 4 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 3
• B. 5
• C. 4
• D. 6

अभ्यास 06#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (6, 3, 5); (6, 1, 2)। 5 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 5
• B. 3
• C. 1
• D. 2

अभ्यास 07#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (6, 4, 2); (3, 5, 2)। 4 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 6
• B. 3
• C. 5
• D. 1

अभ्यास 08#

सभी दृश्य एक ही पासे के हैं; छह अलग अंक 1–6 हैं। प्रत्येक क्रमित त्रिक (ऊपर, सामने, दायाँ) है: (2, 3, 6); (2, 1, 4)। 2 के विपरीत कौन-सा अंक है? विपरीत अंकों का योग 7 न मानें।

• A. 2
• B. 6
• C. 4
• D. 5

अभ्यास 09#

आरंभिक फलक: ऊपर=6, नीचे=5, सामने=3, पीछे=4, दाएँ=1, बाएँ=2। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: सामने। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब ऊपर कौन-सा अंक है?

• A. 4
• B. 2
• C. 1
• D. 5

अभ्यास 10#

आरंभिक फलक: ऊपर=6, नीचे=2, सामने=4, पीछे=5, दाएँ=1, बाएँ=3। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: दाएँ → पीछे → दाएँ → सामने। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब पीछे कौन-सा अंक है?

• A. 2
• B. 4
• C. 3
• D. 6

अभ्यास 11#

आरंभिक फलक: ऊपर=6, नीचे=4, सामने=5, पीछे=2, दाएँ=3, बाएँ=1। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: दाएँ → दाएँ। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब ऊपर कौन-सा अंक है?

• A. 5
• B. 6
• C. 4
• D. 3

अभ्यास 12#

आरंभिक फलक: ऊपर=3, नीचे=4, सामने=5, पीछे=1, दाएँ=2, बाएँ=6। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: दाएँ → दाएँ → पीछे → पीछे → बाएँ। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब पीछे कौन-सा अंक है?

• A. 3
• B. 5
• C. 6
• D. 4

अभ्यास 13#

आरंभिक फलक: ऊपर=2, नीचे=6, सामने=5, पीछे=1, दाएँ=3, बाएँ=4। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: सामने → बाएँ → पीछे। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब ऊपर कौन-सा अंक है?

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 5

अभ्यास 14#

आरंभिक फलक: ऊपर=4, नीचे=1, सामने=3, पीछे=2, दाएँ=5, बाएँ=6। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: दाएँ। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब पीछे कौन-सा अंक है?

• A. 1
• B. 5
• C. 6
• D. 2

अभ्यास 15#

आरंभिक फलक: ऊपर=2, नीचे=1, सामने=5, पीछे=4, दाएँ=3, बाएँ=6। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: दाएँ → सामने → दाएँ → पीछे। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब ऊपर कौन-सा अंक है?

• A. 1
• B. 5
• C. 6
• D. 2

अभ्यास 16#

आरंभिक फलक: ऊपर=5, नीचे=6, सामने=3, पीछे=1, दाएँ=2, बाएँ=4। दर्शक की दिशाएँ स्थिर रखते हुए हर निर्देश पर पासे को 90° लुढ़काएँ: बाएँ → बाएँ → दाएँ → पीछे → सामने। जिस दिशा में लुढ़कता है, पुराना ऊपर वाला फलक उस ओर जाता है। अब नीचे कौन-सा अंक है?

• A. 6
• B. 5
• C. 3
• D. 4

अभ्यास 17#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। B: (1, 1); A: (2, 1); D: (3, 1); C: (2, 2); F: (2, 3); E: (2, 4)। जाल से घन बनाने पर F के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. A
• B. C
• C. F
• D. B

अभ्यास 18#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। B: (1, 1); F: (2, 1); E: (2, 2); C: (3, 2); A: (4, 2); D: (3, 3)। जाल से घन बनाने पर E के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. D
• B. B
• C. F
• D. A

अभ्यास 19#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। A: (1, 1); C: (2, 1); E: (2, 2); D: (3, 2); B: (3, 3); F: (4, 3)। जाल से घन बनाने पर A के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. C
• B. B
• C. D
• D. E

अभ्यास 20#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। E: (2, 1); B: (1, 2); D: (2, 2); A: (3, 2); C: (4, 2); F: (2, 3)। जाल से घन बनाने पर B के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. C
• B. A
• C. D
• D. B

अभ्यास 21#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। A: (1, 1); F: (2, 1); C: (3, 1); E: (3, 2); D: (4, 2); B: (5, 2)। जाल से घन बनाने पर D के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. F
• B. E
• C. A
• D. B

अभ्यास 22#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। C: (1, 1); B: (2, 1); D: (2, 2); A: (3, 2); E: (4, 2); F: (4, 3)। जाल से घन बनाने पर D के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. A
• B. D
• C. C
• D. E

अभ्यास 23#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। C: (1, 1); F: (2, 1); A: (2, 2); B: (2, 3); E: (3, 3); D: (2, 4)। जाल से घन बनाने पर F के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. F
• B. C
• C. B
• D. A

अभ्यास 24#

ये इकाई वर्ग घन का जाल बनाते हैं। निर्देशांक (पंक्ति, स्तंभ) हैं और 1 से गिने गए हैं; पंक्ति नीचे तथा स्तंभ दाएँ बढ़ता है। साझा पूरी भुजा पर मोड़ें। F: (1, 1); E: (2, 1); B: (2, 2); D: (2, 3); A: (2, 4); C: (3, 4)। जाल से घन बनाने पर A के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

• A. A
• B. E
• C. C
• D. B

अभ्यास 25#

काटने से पहले घन के सभी छह बाहरी फलक रंगे गए हैं। हर किनारा 2 बराबर भागों में काटने से 8 समान छोटे घन बनते हैं। ठीक 0 रंगे फलक वाले छोटे घन कितने हैं?

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 5

अभ्यास 26#

काटने से पहले घन के सभी छह बाहरी फलक रंगे गए हैं। हर किनारा 3 बराबर भागों में काटने से 27 समान छोटे घन बनते हैं। ठीक 1 रंगे फलक वाले छोटे घन कितने हैं?

• A. 7
• B. 6
• C. 8
• D. 11

अभ्यास 27#

काटने से पहले घन के सभी छह बाहरी फलक रंगे गए हैं। हर किनारा 5 बराबर भागों में काटने से 125 समान छोटे घन बनते हैं। ठीक 2 रंगे फलक वाले छोटे घन कितने हैं?

• A. 37
• B. 38
• C. 36
• D. 41

अभ्यास 28#

काटने से पहले घन के केवल दो विपरीत बाहरी फलक रंगे गए हैं। हर किनारे को 5 बराबर भागों में काटें। ठीक 1 रंगे फलक वाले छोटे घन कितने हैं?

• A. 51
• B. 50
• C. 52
• D. 55

अभ्यास 29#

3 × 4 × 5 इकाई माप वाले घनाभ के सभी छह फलक रंगे हैं। इसे 60 इकाई घनों में काटा गया है। ठीक 0 रंगे फलक वाले कितने घन हैं?

• A. 6
• B. 7
• C. 8
• D. 11

अभ्यास 30#

3 × 4 × 5 इकाई माप वाले घनाभ के सभी छह फलक रंगे हैं। इसे 60 इकाई घनों में काटा गया है। ठीक 3 रंगे फलक वाले कितने घन हैं?

• A. 9
• B. 10
• C. 13
• D. 8

उत्तर और व्याख्या#

उत्तर 01#

A. 6

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 4 का विपरीत 6 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 02#

D. 4

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 1 का विपरीत 4 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 03#

C. 4

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 6 का विपरीत 4 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 04#

B. 6

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 4 का विपरीत 6 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 05#

A. 3

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 4 का विपरीत 3 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 06#

D. 2

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 5 का विपरीत 2 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 07#

C. 5

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 4 का विपरीत 5 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 08#

D. 5

एक दृश्य में साथ दिखे फलक आसन्न हैं। दृश्य मिलाते समय ऊपर/सामने/दाएँ का क्रम बनाए रखें। सभी दिए दृश्यों से संगत वास्तविक घुमावों में 2 का विपरीत 5 है; प्रतिबिंब को घुमाव न मानें।

उत्तर 09#

A. 4

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=4, F=6, R=1। अंत में ऊपर = 4। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 10#

D. 6

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=3, F=4, R=6; U=4, F=1, R=6; U=2, F=1, R=4; U=3, F=2, R=4। अंत में पीछे = 6। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 11#

C. 4

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=1, F=5, R=6; U=4, F=5, R=1। अंत में ऊपर = 4। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 12#

B. 5

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=6, F=5, R=3; U=4, F=5, R=6; U=5, F=3, R=6; U=3, F=1, R=6; U=6, F=1, R=4। अंत में पीछे = 5। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 13#

A. 2

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=1, F=2, R=3; U=3, F=2, R=5; U=2, F=4, R=5। अंत में ऊपर = 2। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 14#

D. 2

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=6, F=3, R=4। अंत में पीछे = 2। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 15#

C. 6

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=6, F=5, R=2; U=4, F=6, R=2; U=1, F=6, R=4; U=6, F=2, R=4। अंत में ऊपर = 6। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 16#

D. 4

हर घुमाव के बाद (U=ऊपर, F=सामने, R=दायाँ): U=2, F=3, R=6; U=6, F=3, R=4; U=2, F=3, R=6; U=3, F=4, R=6; U=2, F=3, R=6। अंत में नीचे = 4। घुमाव से विपरीत फलक के जोड़े नहीं बदलते।

उत्तर 17#

A. A

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। F और A की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 18#

D. A

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। E और A की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 19#

C. D

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। A और D की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 20#

B. A

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। B और A की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 21#

A. F

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। D और F की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 22#

D. E

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। D और E की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 23#

C. B

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। F और B की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 24#

D. B

साझा भुजाओं पर 90° मोड़ें और हर अक्षर को उसके अपने वर्ग पर रखें। A और B की बाहरी दिशाएँ विपरीत होती हैं। कागज पर सबसे अधिक दूरी होना विपरीत फलक का नियम नहीं है।

उत्तर 25#

A. 0

n ≥ 2 पर ठीक 0 रंगे फलकों की संख्या (n − 2)³ है। n=2 रखने पर 0 मिलता है। केवल मूल बाहरी रंग गिनें, नए कटे तल नहीं।

उत्तर 26#

B. 6

n ≥ 2 पर ठीक 1 रंगे फलकों की संख्या 6(n − 2)² है। n=3 रखने पर 6 मिलता है। केवल मूल बाहरी रंग गिनें, नए कटे तल नहीं।

उत्तर 27#

C. 36

n ≥ 2 पर ठीक 2 रंगे फलकों की संख्या 12(n − 2) है। n=5 रखने पर 36 मिलता है। केवल मूल बाहरी रंग गिनें, नए कटे तल नहीं।

उत्तर 28#

B. 50

केवल बताए मूल फलक रंगे हैं। उनमें से ठीक 1 फलकों को छूने वाले छोटे घन गिनें; संख्या 50 है। आंशिक रंगाई पर छह-फलक वाले सूत्र न लगाएँ।

उत्तर 29#

A. 6

a,b,c ≥ 2 होने पर (a−2)(b−2)(c−2) लें। 3,4,5 रखने पर 6 मिलता है।

उत्तर 30#

D. 8

a,b,c ≥ 2 होने पर 8 लें। 3,4,5 रखने पर 8 मिलता है।

ऑनलाइन परीक्षाएँ#

चार परीक्षाओं में 20-20 प्रश्न हैं: विपरीत फलक, घुमाव, जाल और रंगे घन। संपूर्ण परीक्षा में 80 प्रश्न हैं। जाल के निर्देशांक से चित्र बनाकर और दिशा स्थिर रखकर अभ्यास करें।

यह जानकारी कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) द्वारा तैयार की गई है।