कागज मोड़ना एवं काटना: खोलना, छेद और प्रतिबिंबित आकार

1. कागज मोड़ने पर क्या बदलता है?#

मोड़ कागज के एक भाग को मोड़-रेखा के पार प्रतिबिंबित करता है। रेखा के बिंदु स्थिर रहते हैं। चलने वाले भाग के बिंदु रेखा के दूसरी ओर समान लंब दूरी पर जाते हैं। जो भाग अपनी जगह रहता है, उसे उसी मोड़ में फिर प्रतिबिंबित नहीं करते।

खोलने वाले प्रश्न में अंतिम मोड़े कागज से शुरू करते हैं। सभी परतों में छेद करने पर मूल कागज में संबंधित चिह्न बनते हैं। उन्हें पाने के लिए आखिरी मोड़ पहले खोलें और उलटे क्रम में हर रेखा पर पूरे वर्तमान आकार का प्रतिबिंब लें। कटे आकार को केवल दूसरी जगह खिसकाना नहीं, उसका पूरा प्रतिबिंब बनाना है।

2. चित्र और नियम पढ़ें#

कागज की सीमा, मोड़-रेखा, तीर, बचा हुआ भाग और छेद/कट की जगह पहचानें। टूटी रेखा सामान्यतः मोड़ बताती है, लेकिन प्रश्न का संकेत-विवरण मानें। केवल रंगे क्षेत्र से अनकहा मोड़ न मानें।

यहाँ 16×16 वर्ग है: 0≤x≤16 और 0≤y≤16। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। मोड़ के बाद भी निर्देशांक इसी स्थिर चित्र के हैं। 3/2 जैसी भिन्न 1.5 इकाई है।

प्रश्न-चित्र में मूल सीमा, क्रमांकित मोड़ और अंतिम बचा क्षेत्र नीले रंग में है। बिंदु-चलन प्रश्न में लाल बिंदु आरंभिक बिंदु है; छेद प्रश्न में छेद की जगह। लाल त्रिभुज प्रस्तावित कट है। सटीक माप लिखे निर्देशांक से लें, चित्र के आकार का अनुमान लगाकर उत्तर न चुनें।

3. खड़ी और आड़ी रेखा में प्रतिबिंब#

मोड़-रेखा	(x,y) का प्रतिबिंब	क्या समान है
खड़ी x=c	(2c−x, y)	y निर्देशांक
आड़ी y=c	(x, 2c−y)	x निर्देशांक
विकर्ण y=x	(y,x)	विकर्ण से दूरी
विकर्ण x+y=16	(16−y,16−x)	उस विकर्ण से दूरी

x=8 में (3,5) का प्रतिबिंब (13,5) है; दोनों रेखा से 5 इकाई दूर हैं। y=8 में (3,5) → (3,11)। y=x में (3,5) → (5,3)। ये प्रतिबिंब हैं, 90° घुमाव नहीं।

4. मोड़ते समय बिंदु का स्थान#

मोड़ दिए क्रम में करें और बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी प्रतिबिंब लें। x=8 पर x≤8 बचाने में (12,3) → (4,3)। पहले से (4,3) पर बिंदु नहीं बदलता। (8,3) मोड़-रेखा पर स्थिर है।

अगला मोड़ y=8 पर y≤8 रखता हो तो (4,3) नहीं बदलेगा। लेकिन आरंभिक (12,13) पहले (4,13), फिर (4,3) बनेगा। अलग मूल बिंदु अंतिम मोड़ी परत में एक जगह आ सकते हैं।

मोड़ को आधी चौड़ाई खिसकाना न मानें। दूरी बिंदु की मोड़ से दूरी पर निर्भर है: x=12 से 4, जबकि x=9 से 7 बनता है।

5. छेद खोलने का पूरा उदाहरण#

0 से 16 वाले वर्ग को x=8 पर दाएँ से बाएँ, फिर y=8 पर नीचे से ऊपर मोड़ें। (3,5) पर सभी चार परतों में मोड़ और किनारे से दूर छोटा छेद करें।

1. आखिरी y=8 मोड़ खोलें: (3,11) जोड़ें।
2. x=8 खोलें: दोनों मौजूदा बिंदुओं का प्रतिबिंब लेकर (13,5), (13,11) जोड़ें।
3. चार केंद्र (3,5), (3,11), (13,5), (13,11) हैं।

हर संबंधित मोड़ से दूरी समान रहती है। प्रत्येक चरण के बाद खोली गई रेखा के बारे में आकार सममित होगा। हर बार केवल पहले छेद को नहीं, वर्तमान पूरे समुच्चय को प्रतिबिंबित करें।

6. उलटा क्रम क्यों जरूरी है?#

कई मोड़ क्रमशः छोटे होते कागज पर हो सकते हैं। पहले x=8 पर x≤8 और फिर x=4 पर x≤4 रखें। अंतिम छेद x=1 पर हो तो x=4 खोलने से x=7 मिलेगा। फिर x=8 खोलने से x=15 और x=9। मूल कागज के x निर्देशांक 1,7,9,15 हैं।

x=8 पहले खोलने पर अभी मोड़ी हुई परत के गलत क्षेत्र में प्रति बनेगी। इसलिए आखिरी मोड़ पहले खोलते हैं। कुछ सरल लंबवत मध्यरेखाओं के प्रतिबिंबों में क्रम बदलने से फर्क नहीं पड़ता, लेकिन उस विशेष स्थिति को सामान्य नियम न बनाएँ।

7. छेद गिनना: दुगुना कब करें?#

हर मोड़ पूरी तरह मिलती परतें दुगुनी करे, छेद सभी परतों में हो, संबंधित मोड़/किनारे से दूर हो और खुली प्रतियाँ न मिलें, तब f मोड़ों पर एक छेद से 2^f अलग छेद मिलते हैं। दो छेदों पर संख्या तभी दुगुनी होगी जब उनकी खुली प्रतियाँ अलग रहें।

ऐसे एक मोड़ में 2, दो में 4 और तीन में 8 मिलते हैं। परतें केवल आंशिक मिलें या छेद सभी परतों में न जाए तो केवल मोड़ों की संख्या पर्याप्त नहीं है। “सभी परतों में” लिखा है या नहीं, पढ़ें।

वास्तविक छेद में त्रिज्या और जुड़े भाग मायने रखते हैं। इस संग्रह के आदर्श बिंदु-केंद्र प्रश्नों में अलग निर्देशांक गिनें। मोड़ पर केंद्र को दो अलग वास्तविक छेद समझने से बचाने के लिए यह नियम स्पष्ट दिया है।

8. मोड़-रेखा और प्रतिच्छेद पर छेद#

प्रतिबिंब रेखा का बिंदु अपने ऊपर आता है। x=8 के एक मोड़ में आदर्श केंद्र (8,5) खोलने पर एक ही केंद्र है। x=8 और y=8 के मोड़ों में (8,3) से (8,3), (8,13) मिलते हैं: दो केंद्र, चार नहीं। (8,8) दोनों प्रतिबिंबों में स्थिर है।

यह केंद्र गिनने का नियम है। मोड़ी किनारी पर केंद्रित वास्तविक वृत्ताकार पंच केवल मोड़े कागज के अंदर का वृत्त-भाग काटेगा; खुलकर पूरा वृत्त बन सकता है। जुड़े छिद्र गिनने के लिए आकार और सीमाओं के मिलने को देखें, केवल परतों से गुणा न करें।

मूल बाहरी किनारे का पंच अंदरूनी छेद के बजाय किनारे का कट बन सकता है। केंद्र वाले प्रश्न केवल अलग चिह्नित केंद्र पूछते हैं; हर सीमा-बिंदु को अंदरूनी वृत्ताकार छेद नहीं कहते।

9. कई छेद और दोहराए स्थान#

स्थान का समुच्चय रखें। हर उलटे चरण में सभी बिंदु प्रतिबिंबित करें और दोहराए निर्देशांक हटाएँ। x=8 के एक मोड़ में (2,3), (5,3) से y=3 पर x=2,14,5,11 मिलते हैं: चार अलग केंद्र।

किसी चरण में बिंदु और उसका प्रतिबिंब पहले से हों तो दोबारा प्रतिबिंब लेने से नए अलग स्थान नहीं बनते। सामान्य एक ओर मोड़े कागज में अंतिम भाग के दो अलग अंदरूनी बिंदुओं की प्रतियाँ आम तौर पर अलग होती हैं; सीमा और मोड़ वाले मामले फिर भी जाँचें।

“कितने केंद्र?” और “कौन-सा आकार?” अलग जाँच हैं। विकल्प में छेदों की संख्या सही हो सकती है, लेकिन दूरी या सममिति गलत हो सकती है।

10. कट का स्थान और दिशा दोनों बदलते हैं#

बहुभुज के हर शीर्ष को प्रतिबिंबित करें और संबंधित शीर्ष जोड़ें। (2,3), (4,3), (3,5) वाले त्रिभुज को x=8 में प्रतिबिंबित करने पर (14,3), (12,3), (13,5) मिलते हैं। यह दर्पण प्रति है, बिना दिशा बदले खिसकाया गया त्रिभुज नहीं।

पूरी तरह मिलती दो परतों के भीतर, मोड़ से दूर त्रिभुज काटें तो दो अलग त्रिकोणीय छिद्र बनते हैं। मोड़ को छूता कट अपनी प्रति से जुड़कर एक छिद्र बना सकता है। प्रतियों की संख्या और जुड़े छिद्रों की संख्या अलग रखें।

तीर, असममित अक्षर या अनियमित कट में एक प्रतिबिंब दिशा-क्रम उलटता है। दो प्रतिबिंब मूल दिशा लौटा सकते हैं या रेखाओं के अनुसार घुमाव/स्थानांतरण बना सकते हैं; स्थान की गणना फिर भी चाहिए।

11. मोड़ पर V आकार का कट#

x=8 पर बायाँ भाग रखें। (8,6), (8,10), (6,8) शीर्षों का त्रिभुज काटें। मोड़ पर दोनों शीर्ष स्थिर और तीसरा (10,8) बनता है। खुली सीमा के चार शीर्ष (8,6), (6,8), (8,10), (10,8) हैं। दोनों त्रिभुज जुड़कर एक ही हीरे-जैसा छिद्र बनाते हैं।

साझा मोड़-खंड खुलने के बाद अंदरूनी सीमा नहीं है; वह संयुक्त छिद्र के भीतर है। सममित V के आड़े-खड़े विकर्ण असमान हों तो समचतुर्भुज बनता है; समान हों तो पृष्ठ के सापेक्ष घूमा वर्ग बनता है।

मोड़ से लगा आयताकार कट बड़ा आयत बन सकता है। मोड़ पर व्यास वाला अर्धवृत्त पूरा वृत्त बन सकता है। परिणाम सटीक आकार पर निर्भर है; हर मोटे तौर पर त्रिकोणीय कट का खुला आकार एक जैसा नहीं होता।

12. विकर्ण मोड़#

इस वर्ग में y=x पर निर्देशांक आपस में बदलते हैं। (10,3) → (3,10)। दूसरे विकर्ण x+y=16 पर वह (13,6) बनता है। विकर्ण पर x=8 वाला नियम न लगाएँ।

विकर्ण बनाकर देखें कि बिंदु और प्रति विपरीत ओर समान लंब दूरी पर हैं। विकर्ण के बिंदु स्थिर हैं। त्रिभुज के तीनों शीर्षों पर नियम लगाएँ; केवल केंद्र का प्रतिबिंब लेने से दिशा की जानकारी खो जाती है।

कट की परत वास्तव में बचे भाग पर आनी चाहिए। एक-विकर्ण-मोड़ प्रश्नों में पूरा त्रिभुज बचे भाग के भीतर है, इसलिए उसकी प्रति स्पष्ट है।

13. सामान्य गलतियाँ#

• आखिरी के बजाय पहला मोड़ पहले खोलना।
• पूरे वर्तमान आकार के बजाय केवल मूल बिंदु का प्रतिबिंब लेना।
• मोड़ते समय बचे भाग के स्थिर बिंदु को भी चलाना।
• प्रतिबिंब को खिसकाना या घुमाव समझना।
• मोड़-रेखा जाँचे बिना 2^f अलग केंद्र मानना।
• जुड़े कटों को अलग छेद गिनना।
• दिए निर्देशांक के बजाय चित्र के पिक्सेल से मापना।
• अनकहा मोड़ या अतिरिक्त परत जोड़ना।

हर चरण में रेखा, बचा भाग और वर्तमान आकार लिखें। कई मोड़ केवल मन में रखने से कागज पर छोटा चित्र बनाना अक्सर आसान है।

14. परीक्षा अभ्यास विधि#

पहले एक खड़ा/आड़ा मोड़ करें। फिर दो लंबवत मोड़, उसी दिशा में दोहराए मोड़, मोड़ पर केंद्र, कई छेद और विकर्ण प्रतिबिंब करें। विकल्प से पहले सममिति और दूरी जाँचें।

80 प्रश्नों में बिंदु-चलन, पूरे छेद-समुच्चय, अलग केंद्रों की संख्या, प्रतिबिंबित त्रिभुज और जुड़े V कट हैं। हर प्रश्न में चित्र है। निर्देशांक मॉडल सटीक आधे/चौथाई मान उपयोग करता है; केंद्र गिनने वाले प्रश्न आदर्श बिंदुओं और वास्तविक क्षेत्र वाले छेदों का अंतर स्पष्ट बताते हैं।

अभ्यास: 30 प्रश्न#

अभ्यास 01#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; छोटा y वाला भाग पलटकर y≥8 वाला भाग रखें। शुरू में (5, 13) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (5, 13)
• B. (10, 11)
• C. (5, 11)
• D. (8, 8)

अभ्यास 02#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; छोटा x वाला भाग पलटकर x≥8 वाला भाग रखें। शुरू में (7, 3) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (8, 1)
• B. (9, 16)
• C. (9, 13)
• D. (9, 3)

अभ्यास 03#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; छोटा y वाला भाग पलटकर y≥8 वाला भाग रखें। शुरू में (14, 1) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (6, 16)
• B. (7, 12)
• C. (14, 15)
• D. (5, 13)

अभ्यास 04#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। शुरू में (8, 8) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (3, 13)
• B. (8, 8)
• C. (4, 8)
• D. (5, 9)

अभ्यास 05#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। शुरू में (6, 13) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (6, 3)
• B. (11, 0)
• C. (4, 3)
• D. (7, 7)

अभ्यास 06#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। शुरू में (15, 5) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (8, 4)
• B. (4, 2)
• C. (1, 10)
• D. (1, 5)

अभ्यास 07#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। शुरू में (13, 10) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (4, 10)
• B. (0, 4)
• C. (3, 10)
• D. (6, 12)

अभ्यास 08#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। 2. x=4 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤4 वाला भाग रखें। शुरू में (11, 6) पर बिंदु कागज के साथ चलता है। इन मोड़ों के बाद कहाँ होगा?

• A. (3, 2)
• B. (1, 0)
• C. (4, 15)
• D. (3, 6)

अभ्यास 09#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; छोटा y वाला भाग पलटकर y≥8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (31/2, 19/2) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(31/2, 13/2), (31/2, 19/2)}
• B. {(5/2, 5), (5/2, 11)}
• C. {(3/2, 15/2), (3/2, 17/2)}
• D. {(17/2, 7), (17/2, 9)}

अभ्यास 10#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (1/2, 6) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(27/2, 1/2), (27/2, 31/2)}
• B. {(19/2, 5), (19/2, 11)}
• C. {(5, 11/2), (5, 21/2)}
• D. {(1/2, 6), (1/2, 10)}

अभ्यास 11#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (5, 10) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(2, 5/2), (14, 5/2)}
• B. {(1, 7/2), (15, 7/2)}
• C. {(5, 10), (11, 10)}
• D. {(6, 19/2), (10, 19/2)}

अभ्यास 12#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; छोटा x वाला भाग पलटकर x≥8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (27/2, 15) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(9/2, 1), (23/2, 1)}
• B. {(5/2, 15), (27/2, 15)}
• C. {(7, 15/2), (9, 15/2)}
• D. {(11/2, 31/2), (21/2, 31/2)}

अभ्यास 13#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; छोटा y वाला भाग पलटकर y≥8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (19/2, 15) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(19/2, 1), (19/2, 15)}
• B. {(19/2, 3/2), (19/2, 29/2)}
• C. {(12, 1/2), (12, 31/2)}
• D. {(7/2, 2), (7/2, 14)}

अभ्यास 14#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (8, 1) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(7/2, 3/2), (7/2, 29/2)}
• B. {(11, 7/2), (11, 25/2)}
• C. {(2, 9/2), (2, 23/2)}
• D. {(8, 1), (8, 15)}

अभ्यास 15#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (1/2, 1) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(17/2, 2), (17/2, 14)}
• B. {(3/2, 1/2), (3/2, 31/2)}
• C. {(1/2, 1), (1/2, 15)}
• D. {(4, 3), (4, 13)}

अभ्यास 16#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। 2. x=4 पर मोड़ें; छोटा x वाला भाग पलटकर x≥4 वाला भाग रखें। अंतिम मोड़े कागज में (6, 8) केंद्र पर मोड़ और किनारे से दूर छोटा वृत्ताकार छेद सभी परतों में किया गया है। पूरा खोलने पर सभी केंद्रों का समुच्चय क्या है?

• A. {(5/2, 4), (11/2, 4), (21/2, 4), (27/2, 4)}
• B. {(2, 7/2), (6, 7/2), (10, 7/2), (14, 7/2)}
• C. {(1, 10), (7, 10), (9, 10), (15, 10)}
• D. {(2, 8), (6, 8), (10, 8), (14, 8)}

अभ्यास 17#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; छोटा y वाला भाग पलटकर y≥8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(8, 12)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 6

अभ्यास 18#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; छोटा x वाला भाग पलटकर x≥8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(8, 8)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 2
• B. 3
• C. 5
• D. 1

अभ्यास 19#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(4, 2), (8, 4)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 5
• B. 6
• C. 4
• D. 8

अभ्यास 20#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(8, 8)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 2
• B. 1
• C. 3
• D. 5

अभ्यास 21#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; बड़ा x वाला भाग पलटकर x≤8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(4, 8)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 6

अभ्यास 22#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(8, 8)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 2
• B. 3
• C. 5
• D. 1

अभ्यास 23#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. x=8 पर मोड़ें; छोटा x वाला भाग पलटकर x≥8 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(10, 4), (12, 8)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 5
• B. 6
• C. 4
• D. 8

अभ्यास 24#

कागज 0≤x≤16, 0≤y≤16 का वर्ग है। मूलबिंदु ऊपर-बाएँ है; x दाएँ और y नीचे बढ़ता है। 1. y=8 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤8 वाला भाग रखें। 2. y=4 पर मोड़ें; बड़ा y वाला भाग पलटकर y≤4 वाला भाग रखें। सभी परतों में आदर्श बिंदु-छेद {(8, 4)} पर किए गए हैं। पूरा खोलने पर अलग-अलग केंद्र गिनें। मोड़ पर मिले केंद्र एक बार गिनें; वास्तविक छेद के क्षेत्र या जुड़े आकार नहीं गिनने हैं।

• A. 3
• B. 4
• C. 6
• D. 2

अभ्यास 25#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग में केवल एक मोड़ करें: x=8 पर दाएँ को बाएँ मोड़ना। मोड़े भाग के पूरी तरह भीतर {(2, 3), (3, 5), (4, 3)} शीर्षों का छोटा त्रिभुज काटें। खोलने पर उसकी प्रतिबिंबित प्रति के शीर्षों का समुच्चय क्या है? दक्षिणावर्त क्रम नहीं पूछ रहे हैं।

• A. {(12, 3), (13, 5), (14, 3)}
• B. {(13, 3), (14, 5), (15, 3)}
• C. {(12, 4), (13, 6), (14, 4)}
• D. {(11, 3), (12, 5), (13, 3)}

अभ्यास 26#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग में केवल एक मोड़ करें: x+y=16 पर x+y≤16 वाला भाग रखना। मोड़े भाग के पूरी तरह भीतर {(2, 3), (3, 5), (4, 3)} शीर्षों का छोटा त्रिभुज काटें। खोलने पर उसकी प्रतिबिंबित प्रति के शीर्षों का समुच्चय क्या है? दक्षिणावर्त क्रम नहीं पूछ रहे हैं।

• A. {(12, 13), (14, 12), (14, 14)}
• B. {(11, 14), (13, 13), (13, 15)}
• C. {(10, 13), (12, 12), (12, 14)}
• D. {(11, 13), (13, 12), (13, 14)}

अभ्यास 27#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग में केवल एक मोड़ करें: y=x पर y≤x वाला भाग रखना। मोड़े भाग के पूरी तरह भीतर {(9, 2), (11, 4), (12, 2)} शीर्षों का छोटा त्रिभुज काटें। खोलने पर उसकी प्रतिबिंबित प्रति के शीर्षों का समुच्चय क्या है? दक्षिणावर्त क्रम नहीं पूछ रहे हैं।

• A. {(3, 9), (3, 12), (5, 11)}
• B. {(2, 10), (2, 13), (4, 12)}
• C. {(2, 9), (2, 12), (4, 11)}
• D. {(1, 9), (1, 12), (3, 11)}

अभ्यास 28#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग में केवल एक मोड़ करें: y=8 पर नीचे को ऊपर मोड़ना। मोड़े भाग के पूरी तरह भीतर {(5, 2), (5, 4), (7, 2)} शीर्षों का छोटा त्रिभुज काटें। खोलने पर उसकी प्रतिबिंबित प्रति के शीर्षों का समुच्चय क्या है? दक्षिणावर्त क्रम नहीं पूछ रहे हैं।

• A. {(6, 12), (6, 14), (8, 14)}
• B. {(5, 12), (5, 14), (7, 14)}
• C. {(5, 13), (5, 15), (7, 15)}
• D. {(4, 12), (4, 14), (6, 14)}

अभ्यास 29#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग को एक बार मोड़ें: x=8 पर दाएँ को बाएँ। {(5, 5), (8, 4), (8, 6)} शीर्षों का त्रिकोणीय कट दोनों परतों से निकालें। दो शीर्ष मोड़-रेखा पर हैं। खोलने पर बने एक संयुक्त छिद्र की सीमा के शीर्षों का समुच्चय क्या है?

• A. {(5, 5), (8, 4), (8, 6), (11, 5)}
• B. {(6, 5), (9, 4), (9, 6), (12, 5)}
• C. {(5, 6), (8, 5), (8, 7), (11, 6)}
• D. {(4, 5), (7, 4), (7, 6), (10, 5)}

अभ्यास 30#

ऊपर-बाएँ मूलबिंदु वाले 0≤x,y≤16 वर्ग को एक बार मोड़ें: y=8 पर नीचे को ऊपर। {(6, 8), (7, 7), (8, 8)} शीर्षों का त्रिकोणीय कट दोनों परतों से निकालें। दो शीर्ष मोड़-रेखा पर हैं। खोलने पर बने एक संयुक्त छिद्र की सीमा के शीर्षों का समुच्चय क्या है?

• A. {(7, 8), (8, 7), (8, 9), (9, 8)}
• B. {(6, 9), (7, 8), (7, 10), (8, 9)}
• C. {(5, 8), (6, 7), (6, 9), (7, 8)}
• D. {(6, 8), (7, 7), (7, 9), (8, 8)}

उत्तर और व्याख्या#

उत्तर 01#

A. (5, 13)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (5, 13)।

उत्तर 02#

D. (9, 3)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (9, 3)।

उत्तर 03#

C. (14, 15)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (14, 15)।

उत्तर 04#

B. (8, 8)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (8, 8)।

उत्तर 05#

A. (6, 3)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (6, 3)।

उत्तर 06#

D. (1, 5)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (1, 5)।

उत्तर 07#

C. (3, 10)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (3, 10)।

उत्तर 08#

D. (3, 6)

मोड़े जाने के दिए क्रम में चलें। बिंदु चलने वाले भाग में हो तभी उसका प्रतिबिंब लें। अंतिम स्थान: (3, 6)।

उत्तर 09#

A. {(31/2, 13/2), (31/2, 19/2)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(31/2, 13/2), (31/2, 19/2)} है।

उत्तर 10#

D. {(1/2, 6), (1/2, 10)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(1/2, 6), (1/2, 10)} है।

उत्तर 11#

C. {(5, 10), (11, 10)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(5, 10), (11, 10)} है।

उत्तर 12#

B. {(5/2, 15), (27/2, 15)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(5/2, 15), (27/2, 15)} है।

उत्तर 13#

A. {(19/2, 1), (19/2, 15)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(19/2, 1), (19/2, 15)} है।

उत्तर 14#

D. {(8, 1), (8, 15)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(8, 1), (8, 15)} है।

उत्तर 15#

C. {(1/2, 1), (1/2, 15)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(1/2, 1), (1/2, 15)} है।

उत्तर 16#

D. {(2, 8), (6, 8), (10, 8), (14, 8)}

सबसे आखिरी मोड़ पहले खोलें। केंद्रों के पूरे समुच्चय का उलटे क्रम में हर मोड़-रेखा पर प्रतिबिंब लें। अंतिम समुच्चय {(2, 8), (6, 8), (10, 8), (14, 8)} है।

उत्तर 17#

A. 2

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(8, 4), (8, 12)}। अलग केंद्र 2 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 18#

D. 1

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(8, 8)}। अलग केंद्र 1 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 19#

C. 4

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(4, 2), (4, 14), (8, 4), (8, 12)}। अलग केंद्र 4 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 20#

B. 1

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(8, 8)}। अलग केंद्र 1 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 21#

A. 2

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(4, 8), (12, 8)}। अलग केंद्र 2 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 22#

D. 1

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(8, 8)}। अलग केंद्र 1 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 23#

C. 4

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(4, 8), (6, 4), (10, 4), (12, 8)}। अलग केंद्र 4 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 24#

D. 2

सभी मोड़ उलटे क्रम में खोलकर दोहराए निर्देशांक हटाएँ। केंद्र: {(8, 4), (8, 12)}। अलग केंद्र 2 हैं। प्रतिबिंब रेखा पर केंद्र उसी चरण में दूसरा अलग बिंदु नहीं बनाता।

उत्तर 25#

A. {(12, 3), (13, 5), (14, 3)}

हर शीर्ष का दी रेखा पर प्रतिबिंब लें; लंबाइयाँ न बदलें। प्रतिबिंबित शीर्ष: {(12, 3), (13, 5), (14, 3)}। यहाँ मूल कट और उसकी प्रति अलग हैं।

उत्तर 26#

D. {(11, 13), (13, 12), (13, 14)}

हर शीर्ष का दी रेखा पर प्रतिबिंब लें; लंबाइयाँ न बदलें। प्रतिबिंबित शीर्ष: {(11, 13), (13, 12), (13, 14)}। यहाँ मूल कट और उसकी प्रति अलग हैं।

उत्तर 27#

C. {(2, 9), (2, 12), (4, 11)}

हर शीर्ष का दी रेखा पर प्रतिबिंब लें; लंबाइयाँ न बदलें। प्रतिबिंबित शीर्ष: {(2, 9), (2, 12), (4, 11)}। यहाँ मूल कट और उसकी प्रति अलग हैं।

उत्तर 28#

B. {(5, 12), (5, 14), (7, 14)}

हर शीर्ष का दी रेखा पर प्रतिबिंब लें; लंबाइयाँ न बदलें। प्रतिबिंबित शीर्ष: {(5, 12), (5, 14), (7, 14)}। यहाँ मूल कट और उसकी प्रति अलग हैं।

उत्तर 29#

A. {(5, 5), (8, 4), (8, 6), (11, 5)}

मोड़ से दूर शीर्ष का प्रतिबिंब लें; मोड़ पर दोनों शीर्ष स्थिर हैं। दोनों त्रिकोण मोड़ पर जुड़कर चार शीर्ष वाला एक छिद्र बनाते हैं: {(5, 5), (8, 4), (8, 6), (11, 5)}।

उत्तर 30#

D. {(6, 8), (7, 7), (7, 9), (8, 8)}

मोड़ से दूर शीर्ष का प्रतिबिंब लें; मोड़ पर दोनों शीर्ष स्थिर हैं। दोनों त्रिकोण मोड़ पर जुड़कर चार शीर्ष वाला एक छिद्र बनाते हैं: {(6, 8), (7, 7), (7, 9), (8, 8)}।

ऑनलाइन परीक्षाएँ#

चार परीक्षाओं में 20-20 प्रश्न हैं: बिंदु का मोड़, छेद खोलना, केंद्र गिनना और कटे आकार। संपूर्ण परीक्षा में सभी 80 प्रश्न हैं। निर्देशांक वाले चित्र में माप और बताए निर्देश ही निर्णायक हैं।

यह जानकारी कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) द्वारा तैयार की गई है।